Μια με ύπαρξη
Συντονιστής: emouroukos
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Μια με ύπαρξη
Έστω μια συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση.
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν , τέτοια ώστε
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν , τέτοια ώστε
Χρήστος Κυριαζής
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Μια με ύπαρξη
Αν τότε το ζητούμενο ισχύει. Υποθέτουμε, λοιπόν, ότι
Αν ίσχυε για κάθε με τότε (από άσκηση του Σχολικού Βιβλίου!) η θα ήταν σταθερή στο πράγμα άτοπο. Επομένως, υπάρχουν με τέτοιοι, ώστε
Για τη συνεχή συνάρτηση με
ισχύουν και Άρα, από το Θεώρημα Bolzano, υπάρχει τέτοιο, ώστε Το συμπέρασμα έπεται θέτοντας και
Αν ίσχυε για κάθε με τότε (από άσκηση του Σχολικού Βιβλίου!) η θα ήταν σταθερή στο πράγμα άτοπο. Επομένως, υπάρχουν με τέτοιοι, ώστε
Για τη συνεχή συνάρτηση με
ισχύουν και Άρα, από το Θεώρημα Bolzano, υπάρχει τέτοιο, ώστε Το συμπέρασμα έπεται θέτοντας και
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Re: Μια με ύπαρξη
Παίρνουμε περιπτώσεις:
1. Έστω (αν υπάρχει) με . Αφού , από Bolzano υπάρχει σημείο με
Αν δεν υπάρχει τέτοιο σημείο , τότε για κάθε .
2. Έστω σημεία (αν υπάρχουν) με και . Αφού , πάλι από Bolzano υπάρχει σημείο με
Αν δεν υπάρχουν τέτοια σημεία , τότε για κάθε που ισοδυναμεί με για . Άρα η είναι παντού παραγωγίσιμη (μερικώς στα ) με παράγωγο , οπότε είναι σταθερή, που αποκλείεται.
Υ.Γ. Βαγγέλη με πρόλαβες!
1. Έστω (αν υπάρχει) με . Αφού , από Bolzano υπάρχει σημείο με
Αν δεν υπάρχει τέτοιο σημείο , τότε για κάθε .
2. Έστω σημεία (αν υπάρχουν) με και . Αφού , πάλι από Bolzano υπάρχει σημείο με
Αν δεν υπάρχουν τέτοια σημεία , τότε για κάθε που ισοδυναμεί με για . Άρα η είναι παντού παραγωγίσιμη (μερικώς στα ) με παράγωγο , οπότε είναι σταθερή, που αποκλείεται.
Υ.Γ. Βαγγέλη με πρόλαβες!
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Μια με ύπαρξη
Χρήστο την έχεις ξαναπροτείνει εδώ viewtopic.php?f=53&t=3821&p=20817#p20817.
Δεν θα το ανέφερα αν δεν μου έκανε εντύπωση η λύση του Νίκου.
Δεν θα το ανέφερα αν δεν μου έκανε εντύπωση η λύση του Νίκου.
Σπύρος Καπελλίδης
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: Μια με ύπαρξη
Μάλιστα...Άρχισα να ξεχνάω. Να πω πως τη δεύτερη φορά τη βρήκα από τον εσωτερικό μαθηματικό διαγωνισμό της Ρουμανίας
το 2002. Την πρώτη δε θυμάμαι!
Σπύρο ευχαριστώ!
το 2002. Την πρώτη δε θυμάμαι!
Σπύρο ευχαριστώ!
Χρήστος Κυριαζής
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες