Όριο αντίστροφης !!!

#1

Πολλές φορές έχω υποσχεθεί στον εαυτό μου να αφιερώσω μια βδομάδα και να ασχοληθώ αποκλειστικά με τα όρια αντίστροφων συναρτήσεων, αλλά στα πρώτα 30 χρόνια που ασχολούμαι με τα μαθηματικά δεν βρήκα αυτόν τον χρόνο . Επειδή φοβάμαι μήπως αυτή η ενασχόληση μετατεθεί για άλλη περίοδο της ζωής μου, όχι υποχρεωτικά γήινης , ας ξεκαθαρίσουμε τουλάχιστον το επόμενο ερώτημα που ξεκίνησα να ανιχνεύω με τον Σταύρο και που την αφορμή μου έδωσε τηλεφωνικά φίλος συνάδελφος .

ΠΡΟΤΑΣΗ

Αν η συνάρτηση $f:R\to R$ είναι αντιστρέψιμη και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$ , τότε $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{f}^{-1}}(x)=+\infty$ .

Σχόλιο

Είναι άραγε αληθής πάντα η πρόταση αυτή κι αν όχι με ποιες πρόσθετες πληροφορίες είναι σωστή ; Μέχρι ποιο σημείο μια ανάλογη πρόταση μπορεί να έχει σχολική αντιμετώπιση ;

Μπ

makisman · #2

Καλησπέρα κ.Στεργίου κάτι παρόμοιο ίσως δώσει κάτι viewtopic.php?f=52&t=53463

#3

makisman έγραψε:Καλησπέρα κ.Στεργίου κάτι παρόμοιο ίσως δώσει κάτι viewtopic.php?f=52&t=53463

Ωραία ! Κρατάμε λοιπόν για αρχή ότι :

Α. Αν η συνάρτηση είναι μονότονη,τότε η πρόταση είναι σωστή.

dement · #4

Χωρίς άλλες συνθήκες, η πρόταση δεν είναι απαραίτητα σωστή.

Έστω $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με f(x) = x + n

για $x \in [n, n+1), n \in \mathbb{N}$ .

Για τις τιμές των x < 0

κατασκευάζουμε μια αντιστρέψιμη απεικόνιση από το $(- \infty, 0)$ στο $\displaystyle ( - \infty, 0) \cup \bigcup_{n \in \mathbb{N}} [2n+1, 2n+2)$ (η ακριβής μορφή δεν έχει σημασία).

Τότε η

είναι αντιστρέψιμη και $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$ αλλά δεν ισχύει $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f^{-1}(x) = + \infty$ .

#5

Μιας και είμαστε σε αυτό τον φάκελο μπορούμε να δουλέψουμε με τον ορισμό.
Θέλουμε:
Για κάθε $\varepsilon>0$ να υπάρχει $\delta >0$ ώστε για κάθε $x>\delta$ να είναι $f^{-1}\left( x\right) >\varepsilon$ .
Ισοδύναμα
Για κάθε $\varepsilon>0$ να υπάρχει $\delta >0$ ώστε για κάθε $y>\delta$ να είναι $f^{-1}\left( y\right) >\varepsilon$ .
Αλλά κάθε

από το πεδίο ορισμού της $f^{-1}$ είναι ένα f(x)

. Άρα θέλουμε
Για κάθε $\varepsilon>0$ να υπάρχει $\delta >0$ ώστε για κάθε

με $f(x)>\delta$ να είναι $f^{-1}\left( f(x)\right) >\varepsilon$
Ισοδύναμα:
Για κάθε $\varepsilon>0$ να υπάρχει $\delta >0$ ώστε για κάθε

με $f(x)>\delta$ να είναι $x>\varepsilon$ .
Με άλλα λόγια για
Για κάθε $\varepsilon>0$ να υπάρχει $\delta >0$ ώστε $f^{-1}\left( \left( \delta ,+\infty \right) \right) \subseteq \left( \varepsilon ,+\infty \right)$ .
To τελευταίο λέει ότι η

πρέπει να "στέλνει" μόνο τους "μεγάλους" αριθμούς σε "μεγάλους". Αν λοιπόν κατασκευάσουμε μία αντιστρέψιμη συνάρτηση που να να έχει και στο $+\infty$ και στο $-\infty$ όριο το $+\infty$ τότε έχουμε ένα αντιπαράδειγμα. Αρκεί να πάρουμε μία συνάρτηση που ο περιορισμός της στους μη αρνητικούς να έχει όριο στο $+\infty$ το $+\infty$ και η γραφική παράσταση της να έχει αρκετά κενά που να τα συμπληρώνει ο περιορισμός της στους αρνητικούς.
Νομίζω αυτή ειναι η βασική ιδέα στο πολύ ωραίο παράδειγμα του Δημήτρη. Ο Δημήτρης παίρνει την $x+\left[ x\right]$ (στο

προσθέτει το ακέραιο μέρος του) και την επεκτείνει κατάλληλα στους αρνητικούς.
Για να έχουμε εικόνα συμπληρώνω την επέκταση παίρνοντας την
$\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - x + \left[ { - x} \right] + 1}&{x < 0}\\ {x + \left[ x \right]}&{x \ge 0} \end{array}} \right.}$
Είναι εύκολο να δείξουμε ότι η

είναι αντιστρέψιμη και ότι στο $+\infty$ έχει όριο $+\infty$ .
Στοπ παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της

(Κόκκινο) και της $f^{-1}$ (μπλε). Στους αριθμούς μεταξύ

και

έχουμε επικάλυψη και διακρίνεται μόνο το κομμάτι της γραφικής παράστασης της

.

: limitinverse.png (18.94 KiB) Προβλήθηκε 979 φορές

Μαυρογιάννης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Πολύ ωραία.
Προκύπτει το ερώτημα:
Υπάρχει αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε η πρόταση του Μπάμπη να ισχύει;

#7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Πολύ ωραία.
Προκύπτει το ερώτημα:
Υπάρχει αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε η πρόταση του Μπάμπη να ισχύει;

Σταύρο αυτό, νομίζω, μας υποβάλλει μία ιδέα:

nsmavrogiannis έγραψε: Για κάθε $\varepsilon>0$ να υπάρχει $\delta >0$ ώστε $f^{-1}\left( \left( \delta ,+\infty \right) \right) \subseteq \left( \varepsilon ,+\infty \right)$ .

Με όρους

γίνεται:
Για κάθε $\varepsilon>0$ να υπάρχει $\delta >0$ ώστε $\left( \delta ,+\infty \right) \right) \subseteq f(\left( \varepsilon ,+\infty \right))$ .
που σημαίνει ότι η εικόνα μέσω της

κάθε διαστήματος $f(\left( \varepsilon ,+\infty \right))$ να έχει μία συνεκτική συνιστώσα της μορφής $\left( \delta ,+\infty \right)$ ή $\left[ \delta ,+\infty \right)$ .
Μαυρογιάννης

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Μια αναγκαία και ικανή συνθήκη για να ισχύει η ΠΡΟΤΑΣΗ που
διατύπωσε ο Μπάμπης στην αρχή, είναι:
Η συνάρτηση είναι φραγμένη άνω σε κάθε διάστημα των πραγματικών
που ΔΕΝ είναι περιοχή του απείρου.

Όριο αντίστροφης !!!

Όριο αντίστροφης !!!

Re: Όριο αντίστροφης !!!

Re: Όριο αντίστροφης !!!

Re: Όριο αντίστροφης !!!

Re: Όριο αντίστροφης !!!

Re: Όριο αντίστροφης !!!

Re: Όριο αντίστροφης !!!

Re: Όριο αντίστροφης !!!

Μέλη σε σύνδεση