ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη

ανοικτό διάστημα και $a\in I$
Εστω $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής.
Ισχύει ότι f'(x)=g(f(x)+x)f(x)

Αν

τότε η εξίσωση f(x)=0

δεν έχει ρίζα στο

#2

Αφού η

είναι παραγωγίσιμη, είναι και συνεχής. Άρα και η συνάρτηση $x \mapsto g(f(x)+x)$ είναι συνεχής.

Οπότε μπορώ να ορίσω την συνάρτηση $h:I \to \mathbb{R}$ ως

$\displaystyle{ h(x) = \int_a^x g(f(t)+t) \, \mathrm{d}t.}$

Επιπλέον από το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού η

είναι παραγωγίσιμη με h'(x) = g(f(x)+x)

για κάθε $x \in I$ .

Θεωρώ τώρα την συνάρτηση $k(x) = f(x)e^{-h(x)}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο

με

$\displaystyle{ k'(x) = \cdots = e^{-h(x)}\left[f'(x) - f(x)g(f(x)+x) \right] = 0}$

Άρα η

είναι σταθερή στο

. Επειδή $k(a) = e^{-h(a)} \neq 0$ , τότε $k(x) \neq 0$ για κάθε $x \in I$ . Άρα και $f(x) \neq 0$ για κάθε $x \in I$ όπως θέλαμε να δείξουμε.

[Με ένα βηματάκι παραπάνω θα μπορούσα να δείξω ότι k(x) = 1

για κάθε $x \in I$ αλλά δεν χρειαζόταν για το επιχείρημα.]

mikemoke · #3

Έστω ότι υπάρχει

που ανήκει στο

ώστε

τότε

που ανήκει στο $\mathbb{R}$
έτσι f'(t)=f(t)g(t)=0

ακόμα πρέπει να ισχύει
$\lim_{x \to t(-)}\frac{f(t)-f(x)}{t-x}=\lim_{x \to t(-)}g(f(x)+x)f(x)$

Άρα $\lim_{x \to t(-)}\frac{-f(x)}{t-x}=\lim_{x \to t(-)}g(f(x)+x)f(x)$

$\lim_{x \to t(-)}\frac{-1}{t-x}=\lim_{x \to t(-)}g(f(x)+x)$

-1=0

ΑΤΟΠΟ

Υπάρχουν λάθη στον παραπάνω συλλογισμό ;

#4

mikemoke έγραψε:Υπάρχουν λάθη στον παραπάνω συλλογισμό ;

Κάμποσα. Π.χ.

mikemoke έγραψε: Άρα $\lim_{x \to t(-)}\frac{-f(x)}{t-x}=\lim_{x \to t(-)}g(f(x)+x)f(x)$

$\lim_{x \to t(-)}\frac{-1}{t-x}=\lim_{x \to t(-)}g(f(x)+x)$

Δεν μπορούμε να απλοποιήσουμε το f(x)

.

mikemoke έγραψε: $\lim_{x \to t(-)}\frac{-1}{t-x}=\lim_{x \to t(-)}g(f(x)+x)$

Το αριστερό όριο είναι εσφαλμένο και δεν βλέπω πώς βγήκε το δεξί.

mikemoke · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και $a\in I$
Εστω $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής.
Ισχύει ότι

Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο

Έστω $t\in I$ με t>a

ώστε

(πρώτη ρίζα μετά το

) ,ακόμα προκύπτει f'(t)=0

Παρατηρούμε ότι $\lim_{x\to t}|g(f(x)+x)|=b$ με $b \in \mathbb{R}$

Yπάρχει διάστημα [k,t)

ώστε f κυρτή , f(x)>0 και f'(x)<0
για κάθε $x\in[k,t]$ ισχύει
$\frac{-f(x)}{|t-x|}\geq f'(x)$
Άρα $\frac{-f(x)}{|t-x|}\geq -|g(f(x)+x)|f(x) \Rightarrow \frac{1}{|t-x|}\leq |g(f(x)+x)|$
Έτσι $\lim_{x\to t(-) } \frac{1}{|t-x|}\leq b \Rightarrow +\infty\leq b$
ATOΠΟ $b\in \mathbb{R}$
Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε αν t<a

#6

mikemoke έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και $a\in I$
Εστω $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής.
Ισχύει ότι

Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
Έστω $t\in I$ με ώστε (πρώτη ρίζα μετά το )

Φαντάζομαι εννοείς «πρώτη ρίζα μετά το

». Δεν μπορούμε όμως να πούμε κάτι τέτοιο. (Δες για παράδειγμα το γράφημα της $f(x) = \frac{\sin{x}}{x}$ .

Επεξεργασία: Εννοούσα βέβαια την συνάρτηση $f(x) = \sin{(1/x)}$ και όχι αυτήν που έγραψα.

mikemoke · #7

Demetres έγραψε:
mikemoke έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και $a\in I$
Εστω $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής.
Ισχύει ότι

Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
Έστω $t\in I$ με ώστε (πρώτη ρίζα μετά το )
Φαντάζομαι εννοείς «πρώτη ρίζα μετά το ». Δεν μπορούμε όμως να πούμε κάτι τέτοιο. (Δες για παράδειγμα το γράφημα της $f(x) = \frac{\sin{x}}{x}$ .

Γιατί δεν μπορούμε να το πούμε ;

#8

mikemoke έγραψε: Γιατί δεν μπορούμε να το πούμε ;

Εκ παραδρομής έδωσα λανθασμένο παράδειγμα. Δες το γράφημα της $f(x) = \sin(1/x)$ . Υπάρχουν θετικές τιμές του

στις οποίες μηδενίζεται αλλά δεν υπάρχει μικρότερη τέτοια.

mikemoke · #9

Demetres έγραψε:
mikemoke έγραψε: Γιατί δεν μπορούμε να το πούμε ;
Εκ παραδρομής έδωσα λανθασμένο παράδειγμα. Δες το γράφημα της $f(x) = \sin(1/x)$ . Υπάρχουν θετικές τιμές του στις οποίες μηδενίζεται αλλά δεν υπάρχει μικρότερη τέτοια.

Δεν κατάλαβα .μηδενιζεται τι ; και το τέτοια τι σημαίνει

#10

: sin.png (15.83 KiB) Προβλήθηκε 1618 φορές

Από τις θετικές τιμές που μηδενίζουν τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \sin \left( {\frac{1}{x}} \right)}$ δεν υπάρχει μικρότερη.

Όσο μικρή τιμή κι αν πάρεις πάντα θα υπάρχει κάποια μικρότερη.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

Demetres έγραψε:
mikemoke έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και $a\in I$
Εστω $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής.
Ισχύει ότι

Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
Έστω $t\in Im$ με ώστε (πρώτη ρίζα μετά το )
Φαντάζομαι εννοείς «πρώτη ρίζα μετά το ». Δεν μπορούμε όμως να πούμε κάτι τέτοιο. (Δες για παράδειγμα το γράφημα της $f(x) = \frac{\sin{x}}{x}$ .

Επεξεργασία: Εννοούσα βέβαια την συνάρτηση $f(x) = \sin{(1/x)}$ και όχι αυτήν που έγραψα.

Δημήτρη αυτό από ότι βλέπω είναι το μόνο σωστό από αυτά που γράφει mikemoke.

$t=inf\left \{ x> a:f(x)=0 \right \}$ και επειδή η

είναι συνεχής f(t)=0

και $x\in (a,t)\Rightarrow f(x)> 0$

π.χ το

Yπάρχει διάστημα [k,t) ώστε f κυρτή , f(x)>0 και f'(x)<0

δεν είναι σωστό γιατί δεν γνωρίζουμε τίποτα για την

εκτός ότι είναι συνεχής.

mikemoke · #12

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Demetres έγραψε:
mikemoke έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και $a\in I$
Εστω $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής.
Ισχύει ότι

Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
Έστω $t\in Im$ με ώστε (πρώτη ρίζα μετά το ) [/quote

Φαντάζομαι εννοείς «πρώτη ρίζα μετά το ». Δεν μπορούμε όμως να πούμε κάτι τέτοιο. (Δες για παράδειγμα το γράφημα της $f(x) = \frac{\sin{x}}{x}$ .

Επεξεργασία: Εννοούσα βέβαια την συνάρτηση $f(x) = \sin{(1/x)}$ και όχι αυτήν που έγραψα.
Δημήτρη αυτό από ότι βλέπω είναι το μόνο σωστό από αυτά που γράφει mikemoke.

$t=inf\left \{ x> a:f(x)=0 \right \}$ και επειδή η είναι συνεχής και $x\in (a,t)\Rightarrow f(x)> 0$

π.χ το

Yπάρχει διάστημα [k,t) ώστε f κυρτή , f(x)>0 και f'(x)<0

δεν είναι σωστό γιατί δεν γνωρίζουμε τίποτα για την εκτός ότι είναι συνεχής.

Γνωρίζουμε και ότι f'(t)=0 αφού η g είναι συνεχής και άρα για t δίνει πεπερασμένη τιμή και από κει βγάζω την
κυρτότητα κτλ κοντά στο t.Τωρα αν στο (k,t)

είναι κοίλη τότε αφού f(t)=0 και f'(t)=0 προκύπτει ότι f(x) < 0 άτοπο
Να σημειωσω ότι το διάστημα (k,t)

είναι τέτοιο ώστε η f να είναι είτε κοίλη είτε κυρτή

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #13

mikemoke έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Demetres έγραψε:
mikemoke έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και $a\in I$
Εστω $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής.
Ισχύει ότι

Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
Έστω $t\in Im$ με ώστε (πρώτη ρίζα μετά το ) [/quote

Φαντάζομαι εννοείς «πρώτη ρίζα μετά το ». Δεν μπορούμε όμως να πούμε κάτι τέτοιο. (Δες για παράδειγμα το γράφημα της $f(x) = \frac{\sin{x}}{x}$ .

Επεξεργασία: Εννοούσα βέβαια την συνάρτηση $f(x) = \sin{(1/x)}$ και όχι αυτήν που έγραψα.
Δημήτρη αυτό από ότι βλέπω είναι το μόνο σωστό από αυτά που γράφει mikemoke.

$t=inf\left \{ x> a:f(x)=0 \right \}$ και επειδή η είναι συνεχής και $x\in (a,t)\Rightarrow f(x)> 0$

π.χ το

Yπάρχει διάστημα [k,t) ώστε f κυρτή , f(x)>0 και f'(x)<0

δεν είναι σωστό γιατί δεν γνωρίζουμε τίποτα για την εκτός ότι είναι συνεχής.
Γνωρίζουμε και ότι f'(t)=0 αφού η g είναι συνεχής και άρα για t δίνει πεπερασμένη τιμή και από κει βγάζω την
κυρτότητα κτλ κοντά στο t.Τωρα αν στο είναι κοίλη τότε αφού f(t)=0 και f'(t)=0 προκύπτει ότι f(x) < 0 άτοπο
Να σημειωσω ότι το διάστημα είναι τέτοιο ώστε η f να είναι είτε κοίλη είτε κυρτή

Η

στο

παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή.Μπορεί όμως να υπάρχει $x_{n}\rightarrow t$
με $g(x_{n})\rightarrow 0$ τότε όλα αυτά που γράφεις δεν ισχύουν.
Να σημειώσω ότι το θέμα είναι πολύ πιό βαθύ από ότι φαίνεται.

mikemoke · #14

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
mikemoke έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Demetres έγραψε:
mikemoke έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Εστω $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και $a\in I$
Εστω $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής.
Ισχύει ότι

Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
Έστω $t\in Im$ με ώστε (πρώτη ρίζα μετά το ) [/quote

Φαντάζομαι εννοείς «πρώτη ρίζα μετά το ». Δεν μπορούμε όμως να πούμε κάτι τέτοιο. (Δες για παράδειγμα το γράφημα της $f(x) = \frac{\sin{x}}{x}$ .

Επεξεργασία: Εννοούσα βέβαια την συνάρτηση $f(x) = \sin{(1/x)}$ και όχι αυτήν που έγραψα.
Δημήτρη αυτό από ότι βλέπω είναι το μόνο σωστό από αυτά που γράφει mikemoke.

$t=inf\left \{ x> a:f(x)=0 \right \}$ και επειδή η είναι συνεχής και $x\in (a,t)\Rightarrow f(x)> 0$

π.χ το

Yπάρχει διάστημα [k,t) ώστε f κυρτή , f(x)>0 και f'(x)<0

δεν είναι σωστό γιατί δεν γνωρίζουμε τίποτα για την εκτός ότι είναι συνεχής.
Γνωρίζουμε και ότι f'(t)=0 αφού η g είναι συνεχής και άρα για t δίνει πεπερασμένη τιμή και από κει βγάζω την
κυρτότητα κτλ κοντά στο t.Τωρα αν στο είναι κοίλη τότε αφού f(t)=0 και f'(t)=0 προκύπτει ότι f(x) < 0 άτοπο
Να σημειωσω ότι το διάστημα είναι τέτοιο ώστε η f να είναι είτε κοίλη είτε κυρτή
Η στο παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή.Μπορεί όμως να υπάρχει $x_{n}\rightarrow t$
με $g(x_{n})\rightarrow 0$ τότε όλα αυτά που γράφεις δεν ισχύουν.
Να σημειώσω ότι το θέμα είναι πολύ πιό βαθύ από ότι φαίνεται.

Αν καταλαβαίνω καλά Μπορει στο (k,t)

να αλλάζει μονοτονία ή και κυρτότητα άπειρες φορές και έτσι δεν μπορώ να ισχυριστώ τα παραπάνω μόνο με τα δεδομένα (f(t)=0,f'(t)=0).Δεν θα ισχύει όμως κατι τέτοιο αν το διάστημα γινόταν απειροστό ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #15

mikemoke έγραψε: αν το διάστημα γινόταν απειροστό ;

Δεν υπάρχει τέτοια έννοια στα κλασσικά Μαθηματικά.
Εννοια απειροστού υπάρχει στην Non standard Analysis αλλά πάει
πολύ μακριά η βαλίτσα.

mikemoke · #16

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 09, 2016 11:54 am
Εστω $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και $a\in I$
Εστω $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής.
Ισχύει ότι

Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο

και

συνεχής άρα δεν παρουσιάζει συσσώρευση ριζών στο

.Έστω ότι υπάρχει πρώτη ρίζα μετα το

,

$f(x)>0 \forall x \in (a,r)$ .

συνεχής
$f(r)=0\Rightarrow f'(r)=0$
Αρα θα υπάρχουν ακολουθίες (x_n),(y_n)

με

και $x_n\rightarrow r^-$
ώστε $f'(x_n)=\frac{f(x_n)}{x_n-y_n}\forall n \in\mathbb{N}$ και $x_n<y_n<r \forall n \in \mathbb{N}$ .
Aπό KΠ $y_n\rightarrow r^-$

Άρα $f'(x_n)=g(f(x_n)+x_n)f(x_n)\Rightarrow \frac{f(x_n)}{x_n-y_n}=g(f(x_n)-x_n)f(x_n)\Rightarrow g(f(x_n)-x_n)=\frac{1}{x_n-y_n}$

$\Rightarrow \lim_{n \to \infty}g(f(x_n)+x_n)=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{x_n-y_n}\Rightarrow \lim_{n \to \infty}g(f(x_n)+x_n)=-\infty$
AΤΟΠΟ

συνεχής

Σημείωση: Aν δεν υπάρχουν τέτοιες ακολουθιές τότε υπάρχει $\delta >0$
1η περίπτωση : $f'(x)=\frac{f(x)}{x-t} \forall x \in (r-\delta ,r)$ με $t \in (r,+\infty)$
2η περίπτωση : $f'(x)=\frac{f(x)}{x-t} \forall x \in (r-\delta ,r)$ με $t \in (-\infty,x)$
Kαι στις δύο περιπτώσεις προκύπτει f(r) > 0

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #17

mikemoke έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 01, 2018 1:43 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 09, 2016 11:54 am
Εστω $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και $a\in I$
Εστω $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής.
Ισχύει ότι

Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
και συνεχής άρα δεν παρουσιάζει συσσώρευση ριζών στο .Έστω ότι υπάρχει πρώτη ρίζα μετα το , ,
$f(x)>0 \forall x \in (a,r)$ .
συνεχής
$f(r)=0\Rightarrow f'(r)=0$
Αρα θα υπάρχουν ακολουθίες με και $x_n\rightarrow r^-$
ώστε $f'(x_n)=\frac{f(x_n)}{x_n-y_n}\forall n \in\mathbb{N}$ και $x_n<y_n<r \forall n \in \mathbb{N}$ .
Aπό KΠ $y_n\rightarrow r^-$

Άρα $f'(x_n)=g(f(x_n)+x_n)f(x_n)\Rightarrow \frac{f(x_n)}{x_n-y_n}=g(f(x_n)-x_n)f(x_n)\Rightarrow g(f(x_n)-x_n)=\frac{1}{x_n-y_n}$

$\Rightarrow \lim_{n \to \infty}g(f(x_n)+x_n)=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{x_n-y_n}\Rightarrow \lim_{n \to \infty}g(f(x_n)+x_n)=-\infty$
AΤΟΠΟ συνεχής

Σημείωση: Aν δεν υπάρχουν τέτοιες ακολουθιές τότε υπάρχει $\delta >0$
1η περίπτωση : $f'(x)=\frac{f(x)}{x-t} \forall x \in (r-\delta ,r)$ με $t \in (r,+\infty)$
2η περίπτωση : $f'(x)=\frac{f(x)}{x-t} \forall x \in (r-\delta ,r)$ με $t \in (-\infty,x)$
Kαι στις δύο περιπτώσεις προκύπτει

Αρα θα υπάρχουν ακολουθίες (x_n),(y_n)

με

και $x_n\rightarrow r^-$
ώστε $f'(x_n)=\frac{f(x_n)}{x_n-y_n}\forall n \in\mathbb{N}$ και $x_n<y_n<r \forall n \in \mathbb{N}$ .
Aπό KΠ $y_n\rightarrow r^-$

Σημείωση: Aν δεν υπάρχουν τέτοιες ακολουθιές τότε υπάρχει $\delta >0$
1η περίπτωση : $f'(x)=\frac{f(x)}{x-t} \forall x \in (r-\delta ,r)$ με $t \in (r,+\infty)$
2η περίπτωση : $f'(x)=\frac{f(x)}{x-t} \forall x \in (r-\delta ,r)$ με $t \in (-\infty,x)$

Μιχάλη αν έχεις την ευγενή καλοσύνη εξήγησε πως προκύπτουν
αυτά που έχω αντιγράψει.

mikemoke · #18

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 03, 2018 10:32 pm

mikemoke έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 01, 2018 1:43 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 09, 2016 11:54 am
Εστω $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσιμη
ανοικτό διάστημα και $a\in I$
Εστω $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής.
Ισχύει ότι

Αν
τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζα στο
και συνεχής άρα δεν παρουσιάζει συσσώρευση ριζών στο .Έστω ότι υπάρχει πρώτη ρίζα μετα το , ,
$f(x)>0 \forall x \in (a,r)$ .
συνεχής
$f(r)=0\Rightarrow f'(r)=0$
Αρα θα υπάρχουν ακολουθίες με και $x_n\rightarrow r^-$
ώστε $f'(x_n)=\frac{f(x_n)}{x_n-y_n}\forall n \in\mathbb{N}$ και $x_n<y_n<r \forall n \in \mathbb{N}$ .
Aπό κριτήριο παρεμβολής $y_n\rightarrow r^-$

Άρα $f'(x_n)=g(f(x_n)+x_n)f(x_n)\Rightarrow \frac{f(x_n)}{x_n-y_n}=g(f(x_n)-x_n)f(x_n)\Rightarrow g(f(x_n)-x_n)=\frac{1}{x_n-y_n}$

$\Rightarrow \lim_{n \to \infty}g(f(x_n)+x_n)=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{x_n-y_n}\Rightarrow \lim_{n \to \infty}g(f(x_n)+x_n)=-\infty$
AΤΟΠΟ συνεχής

Σημείωση: Aν δεν υπάρχουν τέτοιες ακολουθιές τότε υπάρχει $\delta >0$
1η περίπτωση : $f'(x)=\frac{f(x)}{x-t} \forall x \in (r-\delta ,r)$ με $t \in (r,+\infty)$
2η περίπτωση : $f'(x)=\frac{f(x)}{x-t} \forall x \in (r-\delta ,r)$ με $t \in (-\infty,x)$
Kαι στις δύο περιπτώσεις προκύπτει
Αρα θα υπάρχουν ακολουθίες με και $x_n\rightarrow r^-$
ώστε $f'(x_n)=\frac{f(x_n)}{x_n-y_n}\forall n \in\mathbb{N}$ και $x_n<y_n<r \forall n \in \mathbb{N}$ .
Aπό κριτήριο παρεμβολής $y_n\rightarrow r^-$

Σημείωση: Aν δεν υπάρχουν τέτοιες ακολουθιές τότε υπάρχει $\delta >0$
1η περίπτωση : $f'(x)=\frac{f(x)}{x-t} \forall x \in (r-\delta ,r)$ με $t \in (r,+\infty)$
2η περίπτωση : $f'(x)=\frac{f(x)}{x-t} \forall x \in (r-\delta ,r)$ με $t \in (-\infty,x)$

Μιχάλη αν έχεις την ευγενή καλοσύνη εξήγησε πως προκύπτουν
αυτά που έχω αντιγράψει.

Καλύτερα να πούμε έστω ότι υπάρχουν ακολουθίες (x_n),(y_n)

με

και $x_n\rightarrow r^-$
ώστε $f'(x_n)=\frac{f(x_n)}{x_n-y_n}\forall n \in\mathbb{N}$ και $x_n<y_n<r \forall n \in \mathbb{N}$ .
Aπό κριτήριο παρεμβολής $y_n\rightarrow r^-$

Και μετά αν δεν υπάρχουν οι παραπάνω ακολουθίες και αφού είναι συγκλίνουσες στο r^-

τότε θα υπάρχει $\delta >0$ τέτοιο ώστε
$f'(x)\neq \frac{f(x)}{x-t} \forall x \in (r-\delta,r)$ με $t\in(x,r)$
'Αρα $f'(x)=\frac{f(x)}{x-t} \forall x \in (r-\delta ,r)$ με $t \in (-\infty,x)\cup [r,+\infty)$ (1).
Αφού αν δεν υπάρχει $\delta >0$ τότε θα μπορούμε να θεωρήσουμε τις παραπάνω ακολουθίες.

Απο (1) προκύπτει $f'(x)\geq\frac{f(x)}{x-r} \forall x \in (r-\delta ,r)\Leftrightarrow \frac{f'(x)(x-r)-f(x)(x-r)'}{(x-r)^2}\geq 0\Leftrightarrow (\frac{f(x)}{x-r})'\geq 0$
Άρα $h(x)=\frac{f(x)}{x-r}$ είναι αύξουσα.

Έστω $x_0 \in (r-\delta,r)$ και y(x)

η ευθεία που διέρχεται από A(x_0,f(x_0)), B(r,0)

Aπό

αύξουσα $f(x)\leq y(x) \forall x \in (x_0,r)$
Aπό $f'(x_0)\geq\frac{f(x_0)}{x_0-r}$ υπάρχει $\delta_1>0$ τέτοιο ώστε $f(x) \geq y(x) \forall x \in (x_0,x_0+\delta_1)$

Tότε $f(x)=y(x) \forall x \in (x_0,r)$ άρα $f'(0) \neq 0$ .Επομένως πρέπει να υπάρχουν οι παραπάνω ακολουθίες.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

Re: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΡΙΖΕΣ

Μέλη σε σύνδεση