Ορισμός υπερπαραγώγου?

nickchalkida · #1

Ακολουθώντας κάποιες σκέψεις στην Ανάλυση, και σε αναλογία με τον κλασσικό ορισμό της παραγώγου
$f\prime(x)=\lim_{h\rightarrow 0}{f(x+h)-f(x)\over h}$
έδωσα τον ορισμό της υπερπαραγώγου ως εξής:
$\displaystyle{ f\nabla(x)=\lim_{h\rightarrow 1}\log_h{f(x \cdot h)\over f(x)} }$
Θα μπορούσα παρακαλώ να έχω τη γνώμη κάποιου ειδικού σε Ανάλυση, για τα ακόλουθα ζητήματα?

Είναι ο ορισμός της υπερπαραγώγου καλώς ορισμένος? ή υπάρχουν κάποια προβλήματα?

Θα μπορούσε κάποιος να δώσει μια γεωμετρική ερμηνεία σε αυτόν τον ορισμό?

#2

Για παραγωγίσιμη

μπορεί να δειχθεί ότι

$\displaystyle{ f \nabla (x) = \frac{xf'(x)}{f(x)}}$

Επεξεργασία: Διόρθωση τυπογραφικού.

nickchalkida · #3

Δημήτρη ευχαριστώ για το χρόνο που διέθεσες. Το αποτέλεσμα που έφτασες είναι σωστό και δεν φαίνεται αν δεν κάνεις κάποιους υπολογισμούς. Έθεσα το ίδιο ερώτημα και σε άλλο forum (stackexchange), και παραθέτω την πιο κομψή κατά τη γνώμη μου λύση για αυτό το αποτέλεσμα:

$\displaystyle{ \begin{align*} f^\nabla(x) &=\lim_{h\to1}\log_h\left(\frac{f(xh)}{f(x)}\right) \\ &=\lim_{h\to1}\frac{\log(f(xh))-\log(f(x))}{\log(h)} \\ &=\lim_{\delta\to0}\frac{\log(f(x+\delta\,x))-\log(f(x))}{\log(1+\delta)} \\ &=\lim_{\delta\to0}\frac{\delta\,x}{\log(1+\delta)}\,\lim_{\delta\to0}\frac{\log(f(x+\delta\,x))-\log(f(x))}{\delta \,x} \\ &=x\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log(f(x)) \\ &=x\,\frac{f'(x)}{f(x) \\ } \end{align} }$
which is well-defined as long as $\,f'(x)$ exists and $f(x)\ne0$ .

Το ερώτημα όμως Γεωμετρικής ερμηνείας παραμένει ακόμα ανοικτό.
(Συγνώμη για την εμφάνιση της απάντησης, υπάρχουν κάποια TeX προβλήματα)

Tolaso J Kos · #4

Γεια σας,

δε θα ήθελα να παρέμβω στο θέμα αλλά θέλω να ρωτήσω τα εξής:

Τι είναι υπερπαράγωγος;
Για ποιο λόγο ορίστηκε και σε τι μας εξυπερητεί;

dement · #5

Παραμένοντας στις παραγωγίσιμες συναρτήσεις, η υπερπαράγωγος είναι προφανώς ο λόγος της κλίσης της εφαπτομένης στο (x,f(x))

προς την κλίση του τμήματος που ενώνει το (x,f(x))

με την τομή των αξόνων.

#6

Ας το δούμε και από άλλη σκοπιά, που ερμηνεύει το "τι τρέχει".

Το ζητούμενο όριο είναι το

$\displaystyle{\lim_{h\to1}\frac{\log(f(xh))-\log(f(x))}{\log(xh)-\log(x)}}$

Θέτοντας $\displaystyle{\log(x) = a, \, \log(xh)=b$ γράφεται

$\displaystyle{\lim_{b\to a}\frac{\log(f(e^b))-\log(f(e^a))}{b-a}$

Το οποίο βέβαια είναι ορισμός της παραγώγου κατάλληλης συνάρτησης. Γενικότερα, η προς εξέταση είναι της μορφής (πράγμα που ερμηνεύει και την σύστασή της)

$\displaystyle{\boxed {\lim_{b\to a}\frac{g^{-1}(f(g(b)))-g^{-1}(f(g(a)))}{b-a}}$

Με άλλα λόγια είναι η παράγωγος της $g^{-1}\circ f \circ g$ , δηλαδή "μεταφορά του σημείου ως προς κάποιο κανόνα, η τιμή της μέσω της

και μεταφορά προς τα πίσω με τον αντίστροφο κανόνα (για να εξουδετερωθεί η πρώτη μεταφορά)".

Ορισμός υπερπαραγώγου?

Ορισμός υπερπαραγώγου?

Re: Ορισμός υπερπαραγώγου?

Re: Ορισμός υπερπαραγώγου?

Re: Ορισμός υπερπαραγώγου?

Re: Ορισμός υπερπαραγώγου?

Re: Ορισμός υπερπαραγώγου?

Μέλη σε σύνδεση