Όριο

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:(x_0 - c, x_0 + c) \rightarrow \mathbb{R}$ μια μη μηδενική συνάρτηση τέτοια ώστε
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0} \left( f(x) +\frac{1}{\left| f(x) \right|} \right)=0}$ Να υπολογιστεί το όριο $\lim \limits_{x \rightarrow x_0} f(x)$ , αν υπάρχει.

Άνευ λύσης. Εικάζω ότι το όριο είναι αλλά δεν έχω τρόπο επίλυσης.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Άνευ λύσης. Εικάζω ότι το όριο είναι αλλά δεν έχω τρόπο επίλυσης.

Όχι δεν είναι. Π.χ. η σταθερή f(x)=-1

ικανοποιεί τις συνθήκες.

(Θα δω τα υπόλοιπα μετά το μάθημα αν και νομίζω ότι είναι πολύ απλή άσκηση. Τώρα βιάζομαι...).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Το όριο είναι

Κατά αρχάς θα είναι f(x)< 0

για

κοντά στο $x_{0}$

γιατί αλλιώς $f(x)+\dfrac{1}{f(x)}\geq 2$

Θέτουμε $g(x)=f(x)-\dfrac{1}{f(x)}$

Λύνοντας το τριώνυμο παίρνουμε

$f(x)=\dfrac{g(x)-\sqrt{g(x)^{2}+4}}{2}$

από όπου προκύπτει ότι το όριο υπάρχει και είναι

#4

Tolaso J Kos έγραψε:Έστω $f:(x_0 - c, x_0 + c) \rightarrow \mathbb{R}$ μια μη μηδενική συνάρτηση τέτοια ώστε
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0} \left( f(x) +\frac{1}{\left| f(x) \right|} \right)=0}$ Να υπολογιστεί το όριο $\lim \limits_{x \rightarrow x_0} f(x)$ , αν υπάρχει.

Αλλιώς.

Έστω ότι το όριο είναι

. Σίγουρα $L\ne 0$ λόγω της υπόθεσης (απλό). Επίσης, από την υπόθεση έπεται $\displaystyle{L +\frac{1}{\left| L\right|} \right)=0}$ . Άρα $\displaystyle{L \left| L\right|=-1}$ , οπότε $L=\pm 1$ , και τελικά εύκολα L=-1

.

#5

Tolaso J Kos έγραψε:Έστω $f:(x_0 - c, x_0 + c) \rightarrow \mathbb{R}$ μια μη μηδενική συνάρτηση τέτοια ώστε
$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow x_0} \left( f(x) +\frac{1}{\left| f(x) \right|} \right)=0}$ Να υπολογιστεί το όριο $\lim \limits_{x \rightarrow x_0} f(x)$ , αν υπάρχει.

Άνευ λύσης. Εικάζω ότι το όριο είναι αλλά δεν έχω τρόπο επίλυσης.

Τόλη, κάπου έχω δώσει σε αγγλικό site αναλυτική λύση, δεν θυμάμαι όμως που. Την άσκηση την εβαλαν και στο fb αλλά στο εργαστήρι ή στη Διδακτική ;
Θα αποδείξουμε ότι το όριο υπάρχει και είναι

.

Λοιπόν, αφού το δοσμένο όριο είναι μηδέν, τότε και το όριο του τετραγώνου του θα είναι μηδέν. Άρα το όριο του αθροίσματος των τετραγώνων είναι +2. Αν προσθέσεις το

και στα δύο μέλη(ως όρια) , τότε το όριο του τετραγώνου του αθροίσματος θα είναι

, οπότε το όριο του αθροίσματος της συνάρτησης και της αντίστροφης(1/f(x)) θα είναι

, διότι η συνάρτηση στη βάση της δύναμης είναι αρνητική.Προσθέτεις το τελευταίο όριο με το πρώτο και παίρνεις ότι το όριο υπάρχει και είναι ίσο με

.

Κάνε σε παρακαλώ αναλυτικά τη λύση κι αν μπορέσεις γράψτην και εδώ για να την έχουμε στο αρχείο.Με ταλαιπωρεί μια ίωση και έχω πονοκέφαλο για να τη γράψω αναλυτικά.

Ίσως εδώ είναι η λύση που είχα στείλει :

https://www.facebook.com/photo.php?fbid ... =3&theater

Μπ

Tolaso J Kos · #6

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Κάνε σε παρακαλώ αναλυτικά τη λύση κι αν μπορέσεις γράψτην και εδώ για να την έχουμε στο αρχείο.Με ταλαιπωρεί μια ίωση και έχω πονοκέφαλο για να τη γράψω αναλυτικά.

Μπάμπη,

τώρα το είδα. Επέτρεψέ μου να τη καθαρογράψω σε ${\rm \LaTeX}$ .

Καταρχάς, παρατηρούμε ότι f(x)<0

σε μία περιοχή του x_0

. Αλλά τότε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow x_0} \left ( f(x) - \frac{1}{f(x)} \right ) =0 &\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_0} \left ( f^2(x) - 2 + \frac{1}{f^2(x)} \right ) =0 \\ &\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_0} \left ( f^2(x) + 2 + \frac{1}{f^2(x)} \right ) =4\\ &\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_0} \left | f(x) + \frac{1}{f(x)} \right | = 2 \\ &\!\!\!\!\!\overset{f(x)<0}{=\!=\!=\!\!\Rightarrow } \lim_{x\rightarrow x_0} \left ( f(x) + \frac{1}{f(x)} \right ) = - 2 \end{aligned}}$ Άρα έχουμε
$\displaystyle{\begin{matrix} \displaystyle \lim \limits_{x\rightarrow x_0} \left ( f(x) - \frac{1}{f(x)} \right )=0 & , &\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} \left ( f(x) + \frac{1}{f(x)} \right )= -2 \\ \end{matrix}}$ Και τελικά:
$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow x_0} \left [ \left ( f(x) - \frac{1}{f(x)} \right ) + \left ( f(x) + \frac{1}{f(x)} \right ) \right ] =-2 &\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_0} \left [ f(x) \cancel{- \frac{1}{f(x)}} + f(x) + \cancel{\frac{1}{f(x)}} \right ] =-2\\ &\Rightarrow 2 \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = -2 \\ &\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = -1 \end{aligned}}$ Μπάμπη ευχαριστούμε.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση