Χριστουγεννιάτικες

Antonis Loutraris · #1

Δύο όμορφες-Χριστουγεννιάτικες ασκήσεις λογισμού μαζί με τις θερμότερες ευχές μου σε όλα τα μέλη του

για καλές γιορτές
με υγεία και μόνο χαρές!

(1) Έστω $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ ολοκληρώσιμη. Δείξτε ότι $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}\left(x^{n+1}-x^{2n}+x^{3n}\right)f(x)dx=0.}$

(2) Συγκλίνουν οι σειρές:

(i) $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\left(e-(1+\frac{1}{n})^{n}\right)}$ και

(ii) $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x_{n}}{\left(x_{1}+x_{2}+\dots+x_{n}\right)^{2}}}$ όπου $x_{n}>0,n\in\mathbb{N};$

Tolaso J Kos · #2

Antonis Loutraris έγραψε: (2) Συγκλίνει η σειρά:

(i) $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\left(e-(1+\frac{1}{n})^{n}\right)}$

Αντώνη αυτή είναι πολύ ωραία άσκηση. Όταν την είχα πρωτοσυναντήσει (πάνε κοντά 3 χρόνια τώρα) η πρώτη μου εντύπωση ήταν ότι "Δε μπορεί θα συγκλίνει" . Έλα ντε, που δε συγκλίνει. Θα χρησιμοποιήσουμε τη γνωστή ανισότητα $e^x \geq x +1$ . Από την ανισότητα Hermite - Hadamard έχουμε ότι:
$\displaystyle{\begin{aligned} n \ln \left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) &= n \int_{n}^{n+1} \frac{{\rm d}x}{x} \\ &\leq \frac{n}{2} \left ( \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} \right ) \\ &= 1 - \frac{1}{2n+2} \end{aligned} }$ άρα "εκθετίζοντας" έχουμε:
$\displaystyle{\begin{aligned} \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n & \leq e e^{-1/(2n+2)} \\ &\leq \frac{e}{1+ \frac{1}{2n+2}} \quad \quad (e^x \geq x +1)\\ &= e \left ( 1 -\frac{1}{2n+3} \right ) \end{aligned}}$ Συνεπώς $\displaystyle{e - \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n \geq \frac{e}{2n+3}}$ και η σειρά αποκλίνει.

#3

Antonis Loutraris έγραψε: (1) Έστω $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ ολοκληρώσιμη. Δείξτε ότι $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}\left(x^{n+1}-x^{2n}+x^{3n}\right)f(x)dx=0.}$

Έστω

φράγμα της

. Τότε

$\displaystyle{ 0\le \left |\int_{0}^{1}\left(x^{n+1}-x^{2n}+x^{3n}\right)f(x)dx \right | \le \int_{0}^{1} \left | \left(x^{n+1}-x^{2n}+x^{3n}\right) f(x) \right |dx}$

$\displaystyle{ \le M \int_{0}^{1} \left | \left(x^{n+1}-x^{2n}+x^{3n}\right) \right |dx =M \int_{0}^{1} \left(x^{n+1}-x^{2n}+x^{3n}\right) dx }$

$\displaystyle{ = M \left( \frac {1}{n+2} -\frac {1}{2n+1} + \frac {1}{3n+1} \right) \to 0 }$

#4

Antonis Loutraris έγραψε:
(ii) $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x_{n}}{\left(x_{1}+x_{2}+\dots+x_{n}\right)^{2}}}$ όπου $x_{n}>0,n\in\mathbb{N};$

Θέτουμε

και διακρίνουμε δύο περιπτώσεις.

α) s_n

συγκλίνει.

Τότε $\displaystyle{ \frac{x_{n}}{\left(x_{1}+x_{2}+\dots+x_{n}\right)^{2}} = \frac{x_{n}}{s_n^{2}} \le \frac{x_{n}}{s_1^{2}} }$

Όμως η σειρά με όρο το δεξί μέλος συγκλίνει (είναι η υπόθεσή μας), οπότε συγκλίνει και η σειρά με όρο το αριστερό μέλος (κριτήριο σύγκρισης).

β) s_n

αποκλίνει, που σημαίνει ότι $s_n \to +\infty$ ως γνήσια αύξουσα.

Τότε για τα μερικά αθροίσματα έχουμε

$\displaystyle{\sum_{n=2}^{N}\frac{x_{n}}{\left(x_{1}+x_{2}+\dots+x_{n}\right)^{2}}=\sum_{n=2}^{N}\frac{s_{n}-s_{n-1}}{s_n^{2}} \le \sum_{n=1}^{N}\frac{s_{n}-s_{n-1}}{s_ns_{n-1}} }$

$\displaystyle{= \sum_{n=2}^{N}\left ( \frac{1}{ s_{n-1}} - \frac{1}{ s_{n}} \right )= \frac{1}{ s_{1}} - \frac{1}{ s_{N}} \to \frac{1}{ s_{1}} }$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ σε όλους.
Διαφορετικά για το ii)
Αν είχε λυθεί η
viewtopic.php?f=61&t=56851

Θα είχαμε δει ότι η $a_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n+\frac{1}{3}}$ είναι αύξουσα.

Αρα $e-(1+\frac{1}{n})^{n}\geq (1+\frac{1}{n})^{n+\frac{1}{3}}-(1+\frac{1}{n})^{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}((1+\frac{1}{n})^{\frac{1}{3}}-1)\geq c\frac{1}{n}$

που δείχνει ότι η σειρά αποκλίνει

#6

Antonis Loutraris έγραψε: (i) $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\left(e-(1+\frac{1}{n})^{n}\right)}$

Και αλλιώς:

$\displaystyle{ e-(1+\frac{1}{n})^{n} = e - e^{n \ln (1+\frac{1}{n}) } =e - e^{n \left (\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + O(n^{-3} ) \right )} } }$

$= e -e e^{- \frac{1}{2n} + O(n^{-2} ) \right )} }= e -e \left ( 1- \frac{1}{2n} + O(n^{-2} ) \right )} }= \frac{1}{2n} + O(n^{-2}) }$

άρα αποκλείνει, από την απόκλιση της $\Sigma 1/n$ .

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Antonis Loutraris έγραψε:
(ii) $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x_{n}}{\left(x_{1}+x_{2}+\dots+x_{n}\right)^{2}}}$ όπου $x_{n}>0,n\in\mathbb{N};$
$\displaystyle{\sum_{n=2}^{N}\frac{x_{n}}{\left(x_{1}+x_{2}+\dots+x_{n}\right)^{2}}=\sum_{n=2}^{N}\frac{s_{n}-s_{n-1}}{s_n^{2}} \le \sum_{n=1}^{N}\frac{s_{n}-s_{n-1}}{s_ns_{n-1}} }$

$\displaystyle{= \sum_{n=2}^{N}\left ( \frac{1}{ s_{n-1}} - \frac{1}{ s_{n}} \right )= \frac{1}{ s_{1}} - \frac{1}{ s_{N}} \to \frac{1}{ s_{1}} }$

Μπορούμε να βελτιώσουμε την απόδειξη. Δεν χρειάζεται να διακρίνουμε δύο περιπτώσεις αλλά ένας σμπάρος αρκεί:

Αφού οι προσθετέοι είναι θετικοί, αρκεί να δείξουμε ότι τα μερικά αθροίσματα είναι φραγμένα (είτε συγκλίνει είτε όχι η s_n

). Οπότε ακολουθούμε την διαδικασία που απομόνωσα παραπάνω αλλά στο τελευταίο βήμα γράφουμε

$\displaystyle{...= \sum_{n=2}^{N}\left ( \frac{1}{ s_{n-1}} - \frac{1}{ s_{n}} \right )= \frac{1}{ s_{1}} - \frac{1}{ s_{N}} {\color {red} \le } \frac{1}{ s_{1}} }$ . Τελειώσαμε.

#8

'Ενα συμπλήρωμα της τρίτης άσκησης που έθεσε ο Αντώνης παραπάνω:

Αν $x_{n}>0,n\in\mathbb{N}$ , δείξτε ότι η σειρά

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x_{n}}{x_{1}+x_{2}+\dots+x_{n}}}$

συγκλίνει αν και μόνον αν συγκλίνει η $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}x_{n}}}}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε:'Ενα συμπλήρωμα της τρίτης άσκησης που έθεσε ο Αντώνης παραπάνω:

Αν $x_{n}>0,n\in\mathbb{N}$ , δείξτε ότι η σειρά

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x_{n}}{x_{1}+x_{2}+\dots+x_{n}}}$

συγκλίνει αν και μόνον αν συγκλίνει η $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}x_{n}}}}$

Θέτουμε $s_{n}=x_{1}+x_{2}+......x_{n}$ και $t_{n}=\dfrac{x_{n}}{s_{n}}$

Αν η δεύτερη σειρά συγκλίνει τότε επειδή

$t_{n}\leq \frac{x_{n}}{x_{1}}$

και η πρώτη συγκλίνει.

Ανάποδα. Εστω ότι η πρώτη συγκλίνει.

Θα υπάρχει $k\in \mathbb{N}$ ώστε για $n> m\geq k$

$t_{m}+t_{m+1}+...t_{n}< \frac{1}{2}$

Αλλά είναι $\dfrac{s_{n}-s_{m-1}}{s_{n}}\leq t_{m}+.....+t_{n}$

Δηλαδή $\dfrac{s_{n}-s_{m-1}}{s_{n}}< \frac{1}{2}$ (1)

Αν η δεύτερη σειρά δεν συγκλίνει τότε $s_{n}\rightarrow \infty$

Παίρνοντας στην (1) $n\rightarrow \infty$

έχουμε ότι $1\leq \frac{1}{2}$ ΑΤΟΠΟ.
Αρα συγκλίνει.

Χριστουγεννιάτικες

Χριστουγεννιάτικες

Re: Χριστουγεννιάτικες

Re: Χριστουγεννιάτικες

Re: Χριστουγεννιάτικες

Re: Χριστουγεννιάτικες

Re: Χριστουγεννιάτικες

Re: Χριστουγεννιάτικες

Re: Χριστουγεννιάτικες

Re: Χριστουγεννιάτικες

Μέλη σε σύνδεση