Ανισότητα με υπερβολική εφαπτομένη

Tolaso J Kos · #1

Ας δηλώσουμε με $\mathcal{G}$ τη σταθερά Catalan . Δειχθήτω
$\displaystyle{\log \left(1+\sqrt{2} \right) < \int_0^1 \frac{\tanh x}{x} \, {\rm d}x < \mathcal{G}}$

dement · #2

Ισχύει $\displaystyle \tanh x > \tanh (\sinh^{-1} x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ για x > 0

οπότε

$\displaystyle \int_0^1 \frac{\tanh x}{x} \mathrm{d}x > \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \mathrm{d}x = \sinh^{-1} 1 = \ln (1 + \sqrt{2})$ .

Εξάλλου, $\tanh x < \tan^{-1} x$ για x > 0

(έχουν ίδια τιμή στο

και $\displaystyle (\tan^{-1} x)' = \frac{1}{1 + x^2} > \frac{1}{\cosh^2 x} = (\tanh x)'$ ) οπότε με ολοκλήρωση κατά μέρη

$\displaystyle \int_0^1 \frac{\tanh x}{x} \mathrm{d}x < \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{x} \mathrm{d}x = - \int_0^1 \frac{\ln x}{1 + x^2} \mathrm{d}x = \mathcal{G}$

Ανισότητα με υπερβολική εφαπτομένη

Ανισότητα με υπερβολική εφαπτομένη

Re: Ανισότητα με υπερβολική εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση