Πεπλεγμένη!

#1

Σκάρωσα ψες την παρακάτω άσκηση, την οποία τοποθετώ σε αυτό τον φάκελο, καθώς θεωρώ ότι δεν ενδείκνυται για "σχολική" χρήση.

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},}$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{f(x)+\sin f(x)=x^3-\sin x}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$

α) Να αποδείξετε ότι είναι καλώς ορισμένη και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

β) Να αποδείξετε ότι είναι περιττή.

γ) Να αποδείξετε ότι έχει ακριβώς τρεις ρίζες.

δ) Να αποδείξετε ότι αποδείξετε ότι έχει ακριβώς δύο τοπικά ακρότατα με τετμημένες $\displaystyle{x_2<0<x_1}$ και ότι $\displaystyle{x_1\in \left(\sqrt{\frac{2}{7}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right).}$

#2

α) Ορίζουμε $g(x)=x+\sin{x}$ για την οποία $g'(x)=1+\cos{x}\geq 0$ και επειδή τα σημεία μηδενισμού της είναι μεμονωμένα και σε αυτά η

είναι συνεχής, άρα η

είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το $\mathbb{R}$ οπότε είναι και 1-1 άρα ορίζεται η αντίστροφη. Επίσης $g(x)\leq x+1$ κι επειδή $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} (x+1) =-\infty$ άρα $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} g(x) =-\infty$ .

Όμοια από την $g(x)\geq x-1$ βγάζουμε ότι $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} g(x) =+\infty$ κι έτσι $g\left(\mathbb{R}\right)=\mathbb{R}$ .

Συνεπώς για κάθε $x_0\in\mathbb{R}$ η αρχική σχέση δίνει $g(f(x_0))=x_0^3-\sin{x_0}$ και αφού η

είναι αντιστρέψιμη με σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ , παίρνουμε $f(x_0)=g^{-1}(x_0^3-\sin{x_0})$ οπότε η

είναι καλώς ορισμένη.

Επίσης από την αρχική σχέση παίρνουμε $f(x)=x^3-\sin{x}-\sin{f(x)}<x^3+2$ και αφού $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} (x^3+2) =-\infty$ άρα $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x) =-\infty$

Όμοια από την αρχική σχέση παίρνουμε f(x)>x^3-2

κι έτσι παίρνουμε $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$

Έτσι, αφού η

είναι συνεχής έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ .

β) Αφού η

είναι περιττή άρα και η αντίστροφη είναι περιττή. Επίσης η $x^3-\sin{x}$ είναι περιττή άρα η σύνθεσή τους $g^{-1}(x^3-\sin{x})$ είναι επίσης περιττή άρα η

είναι περιττή.

γ) Είναι φανερές οι ισοδυναμίες $f(x)=0 \Leftrightarrow g(f(x))=g(0) \Leftrightarrow x^3-\sin{x}=0$ κι έτσι αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση $x^3-\sin{x}$ έχει ακριβώς τρεις ρίζες.

Ορίζουμε $h(x)=x^3-\sin{x}$ με $h'(x)=3x^2-\cos{x}, \ h''(x)=6x+\sin{x}$ και $h'''(x)=6+\cos{x}>0$ άρα η h''

είναι γνησίως αύξουσα και αφού h''(0)=0

άρα

για

και

για

.

Έτσι, η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty, 0]$ και γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty)$ . Είναι h'(0)=-1<0

και αφού $h'\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)>0$ και $h'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)>0$ άρα η

έχει ακριβώς δύο ρίζες $x_1, \ x_2$ με $-\dfrac{\pi}{2}<x_2<0<x_1<\dfrac{\pi}{2}$ .

Τελικά, η

είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty, x_2]$ , γνησίως φθίνουσα στο [x_2,x_1]

και γνησίως αύξουσα στο $[x_1,+\infty)$ άρα η h(x)=0

έχει το πολύ τρεις ρίζες μία σε κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα. Η μία από αυτές είναι το

. Έτσι

και επειδή h(x)<x^3+1

και

άρα $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} h(x) =-\infty$ και $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} h(x) =+\infty$ κι έτσι η

έχει ακριβώς από μία ρίζα σε κάθε ένα από τα διαστήματα $(-\infty, x_2)$ και $(x_1,+\infty)$ . Συνολικά λοιπόν ακριβώς τρεις ρίζες.

δ) Προφανώς οι θέσεις των ακροτάτων είναι (από προηγούμενο ερώτημα) το σημείο x_2

(στο οποίο παρουσιάζει τοπικό μέγιστο) και το x_1

(στο οποίο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο). Το x_1

είναι ρίζα της h'(x)=0

κι έτσι $3x_1^2=\cos{x_1}$ .

Επειδή $0<x_1<\dfrac{\pi}{2}$ άρα $\cos{x_1} < 1$ άρα 3x_1^2 < 1

κι έτσι $x_1 < \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Επιπλέον είναι εύκολο να δείξουμε ότι για x>0

ισχύει $\cos{x} > 1-\dfrac{x^2}{2}$ κι έτσι $\cos{x_1} > 1-\dfrac{x_1^2}{2}$ άρα $3x_1^2> 1-\dfrac{x_1^2}{2}$ κι έτσι 7x_1^2>2

δηλαδή $x_1>\sqrt{\dfrac{2}{7}}$ .

Αλέξανδρος

Πεπλεγμένη!

Πεπλεγμένη!

Re: Πεπλεγμένη!

Μέλη σε σύνδεση