Διαγωνιστική

Συντονιστής: emouroukos

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8715
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Διαγωνιστική

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από KARKAR » Παρ Απρ 21, 2017 8:37 am

Με εντυπωσίασε και τη μεταφέρω ( από αμερικάνικο διαγωνισμό )

Suppose f(x) is a function from real numbers to real numbers such that :

\lim\limits_{x→∞} (f(x + 1) − f(x)) = L

and \lim\limits_{x→∞} \dfrac{f(x)}{x}= M

Prove that : L = M.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1227
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Διαγωνιστική

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από dement » Παρ Απρ 21, 2017 10:51 am

Πράγματι όμορφη!

Ορίζουμε τις ακολουθίες a_n \equiv f(n) και b_n \equiv n. Ισχύει ότι η (b_n) είναι γνησίως αύξουσα με \lim b_n = + \infty και \displaystyle \lim \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} = L, οπότε από το θεώρημα Stolz-Cesàro έχουμε \displaystyle \lim \frac{a_n}{b_n} = \lim \frac{f(n)}{n} = L.

Έτσι, αφού \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{f(x)}{x} = M, ισχύει L = M.

Βρείτε αντιπαραδείγματα που να αποδεικνύουν ότι χρειαζόμαστε την ύπαρξη και των δύο ορίων ως δεδομένο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τροβαδούρος
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Κυρ Απρ 16, 2017 4:10 pm

Re: Διαγωνιστική

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Τροβαδούρος » Παρ Απρ 21, 2017 2:46 pm

Το πρόβλημα νομίζω εμφανίστηκε για πρώτη φορά στο βιβλίο του Cauchy ,Cours d' Analyse de l' Ecole Polytechnique το 1821.(Έτσι τουλάχιστον αναφέρει ο κ.Ρασσιάς στο βιβλίο μαθηματική ανάλυση Ι).


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 2850
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Διαγωνιστική

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Tolaso J Kos » Παρ Απρ 21, 2017 4:17 pm

Μία παρατηρήση: Το f(x) είναι η τιμή της f στο x ενώ η f είναι η ίδια η συνάρτηση. Ίσως το κομμάτι αυτό θέλει μία διόρθωση.

KARKAR έγραψε:Με εντυπωσίασε και τη μεταφέρω ( από αμερικάνικο διαγωνισμό )

Suppose f(x) is a function from real numbers to real numbers such that :

\lim\limits_{x→∞} (f(x + 1) − f(x)) = L

and \lim\limits_{x→∞} \dfrac{f(x)}{x}= M

Prove that : L = M.


Μετάφραση: Έστω f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} μία συνάρτηση τέτοια ώστε

\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \bigg( f(x+1) - f(x) \bigg) = L \quad \text{\gr και} \quad \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = M}

Δείξατε ότι L=M.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9400
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Διαγωνιστική

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Mihalis_Lambrou » Παρ Απρ 21, 2017 4:34 pm

dement έγραψε:Βρείτε αντιπαραδείγματα που να αποδεικνύουν ότι χρειαζόμαστε την ύπαρξη και των δύο ορίων ως δεδομένο.


Θέτουμε στους άρτιους f(2n)=1 και f(x)=0 αν x \ne 2n.

Τότε \displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x} = 0} αλλά το f(x+1) - f(x) δεν έχει όριο στο άπειρο καθώς παίρνει αενάως τις τιμές 1-0=1, \, 0-0=0 και 0-1=-1.


Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 450
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: Διαγωνιστική

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από AlexandrosG » Παρ Απρ 21, 2017 10:40 pm

Δείτε και εδώ.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1269
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Διαγωνιστική

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Απρ 21, 2017 11:04 pm

Ενα πιο 'καλό' παράδειγμα είναι το
f(x)=x+\sin x\frac{\pi }{2}

Το πρόβλημα σε μένα είναι γνωστό.

Το γενικότερο είναι:
Εστω f:(0,\infty )\rightarrow \mathbb{R}
η οποία είναι φραγμένη σε κάθε πεπερασμένο διάστημα.

Δηλαδή για a< b υπάρχει m=m(a,b) ώστε
x\in [a,b]\Rightarrow \left | f(x) \right |\leq m

Αν \lim_{x\rightarrow \infty }f(x+1)-f(x)=L
τότε το υπάρχει το \lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{f(x)}{x}
και είναι ίσο με L

Να σημειώσω οι αν \lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{f(x)}{x}=M,M\in \mathbb{R}
τότε η f είναι από κάπου και πέρα φραγμένη σε κάθε πεπερασμένο διάστημα.

Δηλαδή για c<a< b όπου c σταθερά υπάρχει m=m(a,b) ώστε
x\in [a,b]\Rightarrow \left | f(x) \right |\leq m.



Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες