Συναρτησιακή σχέση
Συντονιστής: emouroukos
Συναρτησιακή σχέση
Εστω : ώστε [1]
α)Υπάρχει μη μονοτονη συνάρτηση που να ικανοποιεί την [1] ?
β)Αν μονότονη βρείτε τον τύπο όλων των συναρτήσεων που ικανοποούν την [1]
α)Υπάρχει μη μονοτονη συνάρτηση που να ικανοποιεί την [1] ?
β)Αν μονότονη βρείτε τον τύπο όλων των συναρτήσεων που ικανοποούν την [1]
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Συναρτησιακή σχέση
R BORIS έγραψε:Εστω : ώστε [1]
α)Υπάρχει μη μονοτονη συνάρτηση που να ικανοποιεί την [1] ?
β)Αν μονότονη βρείτε τον τύπο όλων των συναρτήσεων που ικανοποούν την [1]
Θα απαντήσω στο α).
Ειναι εύκολο να δούμε ότι οι με το
πληρούν την [1].
Θεωρούμε το σύνολο
Θέτοντας
με
και
η πληρεί την [1] και δεν είναι μονότονη.
Μάλιστα νομίζω ότι το πλήθος των συναρτήσεων που πληρούν την [1]
είναι ίδιο με το πλήθος των υποσυνόλων του
Re: Συναρτησιακή σχέση
Μια ακόμη μη μονότονη συνάρτηση που να ικανοποιεί την [1] ειναι : kai που είναι 1-1 και επί και πουθενά συνεχής.
για το β περιμένω
για το β περιμένω
Re: Συναρτησιακή σχέση
Κάτι μου θύμιζε το θέμα αυτό. Παραθέτω μια παραπομπή, χωρίς λύση.
Φιλικά,
Αχιλλέας
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: Συναρτησιακή σχέση
Για το (β):
Η , ως μονότονη και επί, είναι συνεχής (εύκολα αποδεικνύεται πως είναι αύξουσα). Θεωρούμε την επίσης συνεχή . Αν το δεν είναι μονοσύνολο, τότε υπάρχουν με .
Η παίρνει τη σταθερή τιμή στην αριθμητική πρόοδο (με διαφορά ) και ομοίως τη σταθερή τιμή στην αριθμητική πρόοδο (με διαφορά ). Αλλά, αφού το είναι πυκνό στο , θα υπάρχουν με , πράγμα το οποίο αντίκειται στη μονοτονία της .
Έτσι, το είναι μονοσύνολο και η είναι της μορφής .
Η , ως μονότονη και επί, είναι συνεχής (εύκολα αποδεικνύεται πως είναι αύξουσα). Θεωρούμε την επίσης συνεχή . Αν το δεν είναι μονοσύνολο, τότε υπάρχουν με .
Η παίρνει τη σταθερή τιμή στην αριθμητική πρόοδο (με διαφορά ) και ομοίως τη σταθερή τιμή στην αριθμητική πρόοδο (με διαφορά ). Αλλά, αφού το είναι πυκνό στο , θα υπάρχουν με , πράγμα το οποίο αντίκειται στη μονοτονία της .
Έτσι, το είναι μονοσύνολο και η είναι της μορφής .
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Συναρτησιακή σχέση
Καλημέρα.
Θα περιγράψω μία λύση χωρίς πυκνότητα.
Θα υποθέσω ότι χάριν απλότητας.
Η είναι γνησίως αύξουσα.
Εστω με
τότε θα είναι η
Υποθέτουμε ότι ισχύει η δεύτερη.
Γιατί αν ισχύει η πρώτη τότε
και δουλεύουμε με την
Είναι σαφές ότι η (1)
Ορίζω την ακολουθία με
Λόγω της (1) έχουμε
Επίσης λόγω της
είναι
η
Απο την τελευταία εφαρμόζωντας την όσες φορές χρειάζεται παίρνουμε ότι
Αθροίζοντας για έχουμε
(2)
Αλλά είναι
Ετσι η (2) για μεγάλο δίνει
που είναι ΑΤΟΠΟ.
Για δουλεύουμε με τον ίδιο τρόπο.
Αρα
Θα περιγράψω μία λύση χωρίς πυκνότητα.
Θα υποθέσω ότι χάριν απλότητας.
Η είναι γνησίως αύξουσα.
Εστω με
τότε θα είναι η
Υποθέτουμε ότι ισχύει η δεύτερη.
Γιατί αν ισχύει η πρώτη τότε
και δουλεύουμε με την
Είναι σαφές ότι η (1)
Ορίζω την ακολουθία με
Λόγω της (1) έχουμε
Επίσης λόγω της
είναι
η
Απο την τελευταία εφαρμόζωντας την όσες φορές χρειάζεται παίρνουμε ότι
Αθροίζοντας για έχουμε
(2)
Αλλά είναι
Ετσι η (2) για μεγάλο δίνει
που είναι ΑΤΟΠΟ.
Για δουλεύουμε με τον ίδιο τρόπο.
Αρα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 11 επισκέπτες