Συγκλίνουσα σειρὰ, προκύπτουσα ἀπὸ ἄλλη συγκλίνουσα σειρά
Συντονιστής: emouroukos
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Συγκλίνουσα σειρὰ, προκύπτουσα ἀπὸ ἄλλη συγκλίνουσα σειρά
Ἔστω ἀκολουθία θετικῶν ἀριθμῶν ὥστε . Θέτομε
Δείξατε ὅτι ἡ σειρὰ
συγκλίνει.
Δείξατε ὅτι ἡ σειρὰ
συγκλίνει.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 43
- Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2016 2:36 pm
Re: Συγκλίνουσα σειρὰ, προκύπτουσα ἀπὸ ἄλλη συγκλίνουσα σειρά
Κριτήριο ριζών του Cauchy.Θα δείξουμε ότι
Έχουμε
Οπότε
Όμως
Τώρα το είναι μικρότερο του 1 διότι διαφορετικά η ακολουθία θα είχε μια αύξουσα υπ ακολουθία και άρα δεν θα ήταν μηδενική όπως προκύπτει από τη σύγκλιση της σειράς της.
Έχουμε
Οπότε
Όμως
Τώρα το είναι μικρότερο του 1 διότι διαφορετικά η ακολουθία θα είχε μια αύξουσα υπ ακολουθία και άρα δεν θα ήταν μηδενική όπως προκύπτει από τη σύγκλιση της σειράς της.
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Re: Συγκλίνουσα σειρὰ, προκύπτουσα ἀπὸ ἄλλη συγκλίνουσα σειρά
Δὲν ἰσχύει ἐν γένει ὅτι
γιὰ παράδειγμα
γιὰ παράδειγμα
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συγκλίνουσα σειρὰ, προκύπτουσα ἀπὸ ἄλλη συγκλίνουσα σειρά
Ούτε αυτό ισχύει. Για παράδειγμα η έχει αλλά δεν έχει αύξουσα υπακολουθία.Παπαστεργίου Κώστας έγραψε: Τώρα το είναι μικρότερο του 1 διότι διαφορετικά η ακολουθία θα είχε μια αύξουσα υπ ακολουθία
-
- Δημοσιεύσεις: 43
- Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2016 2:36 pm
Re: Συγκλίνουσα σειρὰ, προκύπτουσα ἀπὸ ἄλλη συγκλίνουσα σειρά
Κύριε Σμυρλή δεν είπα πουθενά κάτι τέτοιο. Αν πραγματικά ίσχυε, η απόδειξή μου θα τελείωνε στη μέση περίπου. Αυτό ακριβώς με ανάγκασε σε περαιτέρω επεξεργασία.
Ευχαριστώ.
Αν τότε η θα είχε μια υπ ακολουθία ας πούμε η οποία θα είχε όριο το επομένως θα ήταν τελικά δηλαδή η υπ ακολουθία της θα ήταν αύξουσα με θετικούς όρους, άρα μη μηδενική.
Το παράδειγμά σας κύριε Λάμπρου με προβλημάτισε αλλά νομίζω ότι δεν μπορεί να απαντήσει στο εξής ερώτημα. Ποια είναι η
Είναι η ή η ; Η μία συγκλίνει στο άπειρο και η άλλη στο μηδέν. Ελπίζω να μην έχουμε άλλες λαχτάρες.
Σας ευχαριστώ.
ΠΚ
Ευχαριστώ.
Αν τότε η θα είχε μια υπ ακολουθία ας πούμε η οποία θα είχε όριο το επομένως θα ήταν τελικά δηλαδή η υπ ακολουθία της θα ήταν αύξουσα με θετικούς όρους, άρα μη μηδενική.
Το παράδειγμά σας κύριε Λάμπρου με προβλημάτισε αλλά νομίζω ότι δεν μπορεί να απαντήσει στο εξής ερώτημα. Ποια είναι η
Είναι η ή η ; Η μία συγκλίνει στο άπειρο και η άλλη στο μηδέν. Ελπίζω να μην έχουμε άλλες λαχτάρες.
Σας ευχαριστώ.
ΠΚ
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Συγκλίνουσα σειρὰ, προκύπτουσα ἀπὸ ἄλλη συγκλίνουσα σειρά
Το λάθος είναι εδώ:
και
ενώ το έχει ήδη χρησιμοποιηθεί. Το δεύτερο κλάσμα των πρέπει να γραφεί ως
Δηλαδή, ο επόμενος όρος της δεν είναι κατ' ανάγκη μεγαλύτερος από τον προηγούμενό του (εδώ η έχει πρόβλημα). Το παράδειγμα που έδωσα το καθιστά σαφές.
Έρχομαι σε αυτό.
Πού είναι το πρόβλημα; Ακριβώς το παράδειγμα είναι φτιαγμένο για να συγκλίνει η μία στο άπειρο και η άλλη στο . Πάντως το είναι και δεν υπάρχει αύξουσα υπακολουθία (προφανές).
Νομίζω ότι το ξεκαθάρισα και εξήγησα με σαφήνεια γιατί είναι λάθος ο συλλογισμός.
Για παράδειγμα αν ο πρώτος όρος ήταν ο και ο επόμενος όρος μεγαλύτερος του είναι ο , τότε αλλά δεν ισχύει κατ' ανάγκη όπως ισχυρίζεσαι. Συγκεκριμένα, το λάθος σου είναι ότι ονόμασεςΠαπαστεργίου Κώστας έγραψε: θα ήταν τελικά δηλαδή η υπ ακολουθία της θα ήταν αύξουσα με θετικούς όρους
και
ενώ το έχει ήδη χρησιμοποιηθεί. Το δεύτερο κλάσμα των πρέπει να γραφεί ως
Δηλαδή, ο επόμενος όρος της δεν είναι κατ' ανάγκη μεγαλύτερος από τον προηγούμενό του (εδώ η έχει πρόβλημα). Το παράδειγμα που έδωσα το καθιστά σαφές.
Έρχομαι σε αυτό.
Είναι η για περιττό και η για άρτιο.Παπαστεργίου Κώστας έγραψε:Ποια είναι η
Είναι η ή η ;
Πού είναι το πρόβλημα; Ακριβώς το παράδειγμα είναι φτιαγμένο για να συγκλίνει η μία στο άπειρο και η άλλη στο . Πάντως το είναι και δεν υπάρχει αύξουσα υπακολουθία (προφανές).
Νομίζω ότι το ξεκαθάρισα και εξήγησα με σαφήνεια γιατί είναι λάθος ο συλλογισμός.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Συγκλίνουσα σειρὰ, προκύπτουσα ἀπὸ ἄλλη συγκλίνουσα σειρά
Επαναφορά.Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:Ἔστω ἀκολουθία θετικῶν ἀριθμῶν ὥστε . Θέτομε
Δείξατε ὅτι ἡ σειρὰ
συγκλίνει.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Συγκλίνουσα σειρὰ, προκύπτουσα ἀπὸ ἄλλη συγκλίνουσα σειρά
Για έχω
Άρα
H συγκλίνει τηλεσκοπικά στο . Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι συγκλίνει και η
Όμως (από Cauchy-Schwarz)
Άρα (για )
Τηλεσκοπικά έχουμε
όπου
Οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Άρα
H συγκλίνει τηλεσκοπικά στο . Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι συγκλίνει και η
Όμως (από Cauchy-Schwarz)
Άρα (για )
Τηλεσκοπικά έχουμε
όπου
Οπότε η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες