Φραγμένη και όρια [Εξέταση Απ. 1 - 2017]

Tolaso J Kos · #1

Πρόβλημα:

Να δοθεί παράδειγμα φραγμένης συνάρτησης $f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ ώστε να μην υπάρχει το όριο $\ell=\lim \limits_{x \rightarrow 0^+} f(x)$ . Να γίνει πλήρη δικαιόλογηση.
Αν είναι μία συνάρτηση όπως στο (i) εξετάσατε αν υπάρχουν τα όρια
$\displaystyle{\ell_1 = \lim_{x\rightarrow 0^+} x f(x) \quad , \quad \ell_2 = \lim_{x \rightarrow 0^+} \left ( 1- x \right ) f(x) }$

Το παραπάνω πρόβλημα έπεσε σε εξέταση Απειροστικού Λογισμού Ι στη πτυχιακή εξεταστική του εαρινού εξαμήνου το 2017. Μου κίνησε το ενδιαφέρον , τουλάχιστον ως προς το δεύτερο ερώτημα . Δε το χω κοιτάξει με λεπτομέρειες παρά ταύτα το θέτω εδώ. Για το πρώτο κάτι βρήκα.

M.S.Vovos · #2

Γεια σου Τόλη!

Για το πρώτο ερώτημα η πρώτη συνάρτηση που μου ήρθε στο μυαλό είναι η $\displaystyle{f(x)=\sin \left ( \frac{1}{x} \right )}$ , x>0

. Η

είναι φραγμένη (προφανές) και επίσης δεν υφίσταται το όριο $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)}$ αφού δεν υφίσταται το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }\sin x}$ (η απόδειξη είναι τετριμμένη).

Αν προλάβω θα γράψω και για το δεύτερο ερώτημα το οποίο μου φαίνεται εκ πρώτής όψεως απλό.

Φιλικά,
Μάριος

#3

Tolaso J Kos έγραψε:Πρόβλημα:ii. Αν είναι μία συνάρτηση όπως στο (i) εξετάσατε αν υπάρχουν τα όρια
$\displaystyle{\ell_1 = \lim_{x\rightarrow 0^+} x f(x) \quad , \quad \ell_2 = \lim_{x \rightarrow 0^+} \left ( 1- x \right ) f(x) }$

Για το $\lim_{x\rightarrow 0^+} x f(x)$ :

Επειδή η

είναι φραγμένη -άρα και απολύτως φραγμένη- υπάρχει M>0

, τέτοιος ώστε, για κάθε $x\in(0,+\infty)$ , να ισχύει $|f(x)|\leqslant M$ .
Αλλά τότε

$({\forall\,\varepsilon>0})\,\big({\exists\,\delta=\frac{\varepsilon}{M}>0}\big)\,({\forall\,x\in(0,+\infty)})\quad 0<x<\delta \quad \Rightarrow$

$\bigl|x\,f(x)\bigr|=x\,|f(x)|<\frac{\varepsilon}{M}\,M=\varepsilon\,.$

Άρα το $\lim_{x\rightarrow 0^+} x f(x)$ υπάρχει και ισούται με

.

#4

Tolaso J Kos έγραψε:Πρόβλημα:

Να δοθεί παράδειγμα φραγμένης συνάρτησης $f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ ώστε να μην υπάρχει το όριο $\ell=\lim \limits_{x \rightarrow 0^+} f(x)$ . Να γίνει πλήρη δικαιόλογηση.

Αν είναι μία συνάρτηση όπως στο (i) εξετάσατε αν υπάρχουν τα όρια
$\displaystyle{\ell_1 = \lim_{x\rightarrow 0^+} x f(x) \quad , \quad \ell_2 = \lim_{x \rightarrow 0^+} \left ( 1- x \right ) f(x) }$

(1) Η

στους ρητούς και

στους άρρητους (Dirichlet) δίνει άμεσο παράδειγμα.

(2) Αν

φράγμα της |f|

, η ανισότητα $|x f(x)| \le M|x|$ και η ιδιότητα των ισοσυγκλινουσών δείχνει ότι το όριο υπάρχει.

Αντίθετα το δεύτερο όριο δεν υπάρχει κατ' ανάγκη γιατί αν υπήρχε, θα υπήρχε και το όριο της

$\displaystyle{ f(x) = x f(x) + \left ( 1- x \right ) f(x) }$

που όμως είδαμε ότι δεν υπάρχει για το παράδειγμα στην (1)

.

Tolaso J Kos · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: (1) Η στους ρητούς και στους άρρητους (Dirichlet) δίνει άμεσο παράδειγμα.

(2) Αν φράγμα της , η ανισότητα $|x f(x)| \le M|x|$ και η ιδιότητα των ισοσυγκλινουσών δείχνει ότι το όριο υπάρχει.

Αντίθετα το δεύτερο όριο δεν υπάρχει κατ' ανάγκη γιατί αν υπήρχε, θα υπήρχε και το όριο της

$\displaystyle{ f(x) = x f(x) + \left ( 1- x \right ) f(x) }$

που όμως είδαμε ότι δεν υπάρχει για το παράδειγμα στην .

Απλή και λιτή απάντηση... !! Ευχαριστώ! Καλό καλοκαίρι σε όλους.

Φραγμένη και όρια [Εξέταση Απ. 1 - 2017]

Φραγμένη και όρια [Εξέταση Απ. 1 - 2017]

Re: Φραγμένη και όρια [Εξέταση Απ. 1 - 2017]

Re: Φραγμένη και όρια [Εξέταση Απ. 1 - 2017]

Re: Φραγμένη και όρια [Εξέταση Απ. 1 - 2017]

Re: Φραγμένη και όρια [Εξέταση Απ. 1 - 2017]

Μέλη σε σύνδεση