Όριο ολοκληρώματος

Tolaso J Kos · #1

Αυτή εδώ η άσκηση μου θύμισε τούτη η οποία μου είναι γνωστή εδώ και χρόνια. Πιστεύω πως με μία κατάλληλη τροποποίηση κατεβαίνει εύκολα στο Λύκειο ( Γ' Λυκείου ) . Πάντως δεν είναι δύσκολη, αντιθέτως ...

Δίδεται η συνεχής συνάρτηση $f:[0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^2 f(x) = 1$ . Δείξατε ότι
$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 f(n x)\, {\rm d}x =0}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Δίδεται η συνεχής συνάρτηση $f:[0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^2 f(x) = 1$ . Δείξατε ότι
$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \int_0^1 f(n x)\, {\rm d}x =0}$

Παραβλέποντας το γεγονός ότι οι ακολουθίες είναι εκτός Λυκείου, γράφω μία λύση κατά τα άλλα απλή.

Από την υπόθεση $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} x^2 f(x) = 1$ έπεται ότι υπάρχει θετική σταθερά

τέτοια ώστε $|x^2 f(x)|\le M$ για κάθε

. Άρα

$\displaystyle{\left | \int_0^1 f(n x)\, {\rm d}x\right | = \frac {1}{n} \left | \int_0^n f(u)\, {\rm d}u\right | \le \frac {1}{n} \left | \int_0^1 f(u)\, {\rm d}u\right |+ \frac {1}{n} \left | \int_1^n f(u)\, {\rm d}u\right |}$

$\displaystyle{ \le \frac {c}{n} + \frac {1}{n} \left | \int_1^n \frac {M}{u^2}\, {\rm d}u\right |= \frac {c}{n} + \frac {M}{n} \left (1- \frac {1}{n}\right )\to 0}$

Σχόλιο: Μπορούμε να παρακάμψουμε την αλλαγή μεταβλητής κόβοντας το αρχικό ολοκλήρωμα στα $\left [ 0, \, \frac {1}{n} \right ] \cup \left [ \frac {1}{n} , \, 1\right ]$

Tolaso J Kos · #3

Πολύ ωραία. Αν κατέβαινε στο Λύκειο μάλλον η τροποποίηση θα ήταν αντί για $n \rightarrow +\infty$ να έχουμε μία συνεχή μεταβλητή π.χ $u \rightarrow +\infty$ και να ζητείται το όριο
$\displaystyle{\ell = \lim_{u \rightarrow +\infty} \int_0^1 f(ux) \, {\rm d}x}$ Σημείωση: Η υπόθεση της συνέχειας στο

δε μπορεί να παραλειφθεί αλλιώς μετά έχουμε αντιπαράδειγμα την $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ η οποία ικανοποιεί την υπόθεση αλλά όχι το συμπέρασμα.

Όριο ολοκληρώματος

Όριο ολοκληρώματος

Re: Όριο ολοκληρώματος

Re: Όριο ολοκληρώματος

Μέλη σε σύνδεση