Ανισότητα με ολοκλήρωμα (+Άλγεβρα)

Λάμπρος Μπαλός · #1

Να αποδείξετε ότι :

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (x \cdot cotx)^{2n}dx \geq \frac{\pi +2n}{2^{n+2}}$ , για κάθε $n \in N$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 17, 2017 9:02 pm
Να αποδείξετε ότι :

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (x \cdot cotx)^{2n}dx \geq \frac{\pi +2n}{2^{n+2}}$ , για κάθε $n \in N$ .

Θέτουμε $I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (x \cdot cotx)^{2n}dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} ( \frac{x}{\tan x})^{2n}dx=\int_{0}^{1}(\frac{\arctan t}{t})^{2n}\frac{1}{1+t^{2}}dt$
(στο τελευταίο κάναμε αλλαγή μεταβλητής)

Εφαρμόζοντας Holder έχουμε

$\int_{0}^{1}(\frac{\arctan t}{t})\frac{1}{\sqrt[2n]{1+t^{2}}}dt\leq (I_{n})^{\frac{1}{2n}}$
(η μία συνάρτηση είναι η

και η μία δύναμη

)
προκύπτει ότι

$I_{n}\geq (\int_{0}^{1}(\frac{\arctan t}{t})\frac{1}{\sqrt[2n]{1+t^{2}}}dt)^{2n}\geq \frac{1}{2}(\int_{0}^{1}(\frac{\arctan t}{t})dt)^{2n}$

Επειδή $t\in [0,1]\Rightarrow \dfrac{\arctan t}{t}\geq 1-\dfrac{t^{2}}{3}$

υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα παίρνουμε

$I_{n}\geq \frac{1}{2}(\frac{8}{9})^{2n}=b_{n}$

Ενας υπολογισμός δίνει ότι $b_{4}\geq 0,19> 0,1875=\frac{12}{64}=\frac{4+2.4}{2^{4+2}}$

Επαγωγικά δείχνουμε ότι $n\geq 4\Rightarrow b_{n}\geq \frac{4+2n}{2^{n+2}}>\frac{\pi +2n}{2^{n+2}}$

Ετσι έχουμε το αποτέλεσμα για $n\geq 4$

Για n=1,2,3

είναι πράξεις οι οποίες δεν δακτυλογραφούνται.

Τουλάχιστον όπως τα έκανα εγώ.

Λάμπρος Μπαλός · #3

Καλησπέρα κύριε Παπαδόπουλε, σας ευχαριστώ πολύ για την ενασχόληση και τη λύση.

Βάζω και τη δικιά μου..

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}[xcotx]^{2n}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}[x \frac{cosx}{sinx}]^{2n}dx \geq \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}[cosx]^{2n}dx= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}[cos^{2}x]^{n}dx=$

$=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{8}}[cos^{2}(2y)]^{n}dy=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{8}}[\frac{1+cos(4y)}{2}]^{n}dy = 2^{1-n} \int_{0}^{\frac{\pi}{8}}[1+cos(4y)]^{n}dy \geq$

$\geq 2^{1-n} \int_{0}^{\frac{\pi}{8}}[1+ncos(4y)]dy = 2^{1-n} [y+\frac{nsin(4y)}{4}]_{0}^{\frac{\pi}{8}} = \frac{\pi+2n}{2^{n+2}}$ .

Ανισότητα με ολοκλήρωμα (+Άλγεβρα)

Ανισότητα με ολοκλήρωμα (+Άλγεβρα)

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα (+Άλγεβρα)

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα (+Άλγεβρα)

Μέλη σε σύνδεση