Συναρτησιακή και μεγιστοποίηση

#1

Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου $\displaystyle ABCD$ αν τα $\displaystyle A,B$ βρίσκονται στη γραφική παράσταση της $\displaystyle f(x)$
για την οποία ισχύει $\displaystyle {{f}^{3}}(x)+{{x}^{2}}f(x)=8$ , $\displaystyle x\in R$ και τα $\displaystyle C,D$ πάνω στον $\displaystyle {x}'x$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 30, 2017 7:26 pm
Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου $\displaystyle ABCD$ αν τα $\displaystyle A,B$ βρίσκονται στη γραφική παράσταση της $\displaystyle f(x)$
για την οποία ισχύει $\displaystyle {{f}^{3}}(x)+{{x}^{2}}f(x)=8$ , $\displaystyle x\in R$ και τα $\displaystyle C,D$ πάνω στον $\displaystyle {x}'x$

Είναι εύκολο να δούμε ότι η

είναι άρτια , f(x)> 0

,και γνησίως φθίνουσα στο $[0,\infty )$ .

Ετσι αρκεί να μεγιστοποιήσουμε το g(x)=xf(x),x> 0

Είναι $g(0)=0, \lim_{x\rightarrow \infty }g(x)=0$

Έχουμε g'(x)=f(x)+f'(x)x

Επειδή $f'(x)=-\dfrac{2xf(x)}{3f^{2}(x)+x^{2}}$
(θεωρώ ότι δεν χρειάζεται να δειχθεί η παραγωγισιμότητα)

παίρνουμε ότι $g'(x)=\dfrac{3f^{3}(x)-x^{2}f(x)}{3f^{2}(x)+x^{2}}$

Χρησιμοποιώντας την σχέση που ορίζει την

παίρνουμε ότι

η

μηδενίζεται όταν $f^{3}(x)=2$

Ετσι παίρνουμε ότι η

μηδενίζεται για $x=\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{2}}}$

Εκεί παίρνει μέγιστη τιμή που είναι $\sqrt[3]{2}\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{2}}}$

οπότε το μέγιστο εμβαδό είναι $2\sqrt[3]{2}\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{2}}}$

mikemoke · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 01, 2017 1:53 am

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 30, 2017 7:26 pm
Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου $\displaystyle ABCD$ αν τα $\displaystyle A,B$ βρίσκονται στη γραφική παράσταση της $\displaystyle f(x)$
για την οποία ισχύει $\displaystyle {{f}^{3}}(x)+{{x}^{2}}f(x)=8$ , $\displaystyle x\in R$ και τα $\displaystyle C,D$ πάνω στον $\displaystyle {x}'x$
Είναι εύκολο να δούμε ότι η είναι άρτια ,,και γνησίως φθίνουσα στο $[0,\infty )$ .

Ετσι αρκεί να μεγιστοποιήσουμε το

Είναι $g(0)=0, \lim_{x\rightarrow \infty }g(x)=0$

Έχουμε

Επειδή $f'(x)=-\dfrac{2xf(x)}{3f^{2}(x)+x^{2}}$
(θεωρώ ότι δεν χρειάζεται να δειχθεί η παραγωγισιμότητα)

παίρνουμε ότι $g'(x)=\dfrac{3f^{3}(x)-x^{2}f(x)}{3f^{2}(x)+x^{2}}$

Χρησιμοποιώντας την σχέση που ορίζει την παίρνουμε ότι

η μηδενίζεται όταν $f^{3}(x)=2$

Ετσι παίρνουμε ότι η μηδενίζεται για $x=\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{2}}}$

Εκεί παίρνει μέγιστη τιμή που είναι $\sqrt[3]{2}\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{2}}}$

οπότε το μέγιστο εμβαδό είναι $2\sqrt[3]{2}\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{2}}}$

Θα μπορούσαμε να πολλαπλασιάσουμε την αρχική σχέση με f(x)

Ετσι θα είχαμε x^2 f^2(x)=8f(x)-f^4(x)

και μετά βγαίνουν τα ίδια

Συναρτησιακή και μεγιστοποίηση

Συναρτησιακή και μεγιστοποίηση

Re: Συναρτησιακή και μεγιστοποίηση

Re: Συναρτησιακή και μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση