Νέα ανισότητα

KARKAR · #1

: νέα ανισότητα.png (65.28 KiB) Προβλήθηκε 915 φορές

Η ανισότητα : $\ell n(x+1)\leq x$ , $\forall x \in (-1 , +\infty)$ , είναι ευρέως γνωστή .

Ήρθε η ώρα να δείξουμε και την : $\ell n(x+1)\leq \sin x$ , $\forall x \in (-1,1)$ .

dement · #2

Θεωρούμε την $f(x) = \sin x - \ln (x+1)$ για την οποία ισχύει f(0) = 0

.

Έχουμε $\displaystyle f'(x) = \cos x - \frac{1}{x+1}, \ f'(0) = 0$ . Επειδή $\displaystyle \cos x \geqslant 1 - \frac{x^2}{2}$ και ισχύει $\displaystyle x^2 + x - 2 \leqslant 0 \implies \frac{1}{x+1} \geqslant \frac{x}{2} \implies 1 - \frac{x^2}{2} \geqslant \frac{1}{x+1}$ για $0 \leqslant x \leqslant 1$ , παίρνουμε $f'(x) \geqslant 0$ για $0 \leqslant x \leqslant 1$ . Έτσι, από ΘΜΤ, έχουμε $0 \leqslant x \leqslant 1 \implies f(x) \geqslant 0$ .

Ισχύει επίσης $\displaystyle f''(x) = - \sin x + \frac{1}{(x+1)^2} \geqslant 0$ για $-1 \leqslant x \leqslant 0$ . Έτσι, από ΘΜΤ, έχουμε $-1 \leqslant x \leqslant 0 \implies f'(x) \leqslant 0$ και πάλι από ΘΜΤ $-1 \leqslant x \leqslant 0 \implies f(x) \geqslant 0$ .

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Κατ'αρχάς από την κλασική ανισότητα $-|x|\leq sin(x)\leq |x|$ για $x\in(-1,0]$ παίρνουμε:
$sin(x)\geq x\geq ln(x+1).$ Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι $sin(x)\geq ln(x+1)$ για κάθε $x\in(0,1)$ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x)=sin(x)-ln(x+1),x\in[0,1).$

Είναι ${f}'(x)=cos(x)-\frac{1}{x+1},x\in[0,1).$ Θα δείξουμε ότι για κάθε $x\in[0,1)$ είναι ${f}'(x)\geq 0$ με την ισότητα να ισχύει μόνο για x=0

.

Έχουμε λοιπόν ότι η $cos(0)=\frac{1}{0+1}$ και η cos(x)

είναι κοίλη στο [0,1)

ενώ η $\frac{1}{x+1}$ κυρτή στο [0,1)

. Άρα αρκεί να είναι $cos(1)>\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$ το οποίο προφανώς ισχύει αφού $cos(1)>cos(\frac{\pi }{3})=\frac{1}{2}.$

Άρα ${f}'(x)\geq 0$ και επομένως $f(x)\geq f(0)\Rightarrow sin(x)\geq ln(x+1)$ με την ισότητα να ισχύει μόνο για x=0

.

KARKAR · #4

: νέα ανισότητα - λύση.png (15.57 KiB) Προβλήθηκε 863 φορές

Όμορφες προσεγγίσεις όμως η λύση του Λάμπρου είναι για

.

Ιδού και το σχήμα για το διάστημα [0,1)

.

Λάμπρος Κατσάπας · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 31, 2017 9:08 pm
Όμορφες προσεγγίσεις όμως η λύση του Λάμπρου είναι για .

Ευχαριστώ πολύ.

Νέα ανισότητα

Νέα ανισότητα

Re: Νέα ανισότητα

Re: Νέα ανισότητα

Re: Νέα ανισότητα

Re: Νέα ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση