Ρίζα και λογάριθμος

KARKAR · #1

: Λογάριθμοι και ρίζες.png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 1324 φορές

Είναι σχετικά απλό ( κάντε το ! ) να δείξουμε , ότι $\forall x>0$ , είναι : $\sqrt{x}>ln(x+1)$ .

Αν όμως πάρουμε τη συνάρτηση g(x)=aln(x+1)

, τότε για κάποια

( μεγαλύτερα

του

) , συναρτήσεις $f(x)=\sqrt{x}$ και g(x)

έχουν τουλάχιστον ένα ακόμη κοινό σημείο .

Βρείτε την ελάχιστη τιμή αυτού του

. Στο σχήμα η $C_{g}$ είναι η κόκκινη .

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Το ελάχιστο a>1

μπορεί να βρεθεί από την επίλυση της εξίσωσης min(f(x)-g(x))=0.

. Από μελέτη της

διαφοράς βρίσκουμε ότι για $x^{*}=-1+2a^{2}+2\sqrt{a^{4}-a^{2}}$ έχουμε ελάχιστη τιμή την $f(x^{*})$ .

Λύνοντας (με χρήση προγράμματος φυσικά) την $f(x^{*})=0$ βρίσκουμε ότι $mina\approx 1.24263$

KARKAR · #3

Αφορμή για τη δημοσίευση απετέλεσε η παρατήρηση , ότι για $a=\dfrac{2}{ln5}\simeq1.24267$ , οι δύο

συναρτήσεις έχουν κοινό σημείο το S(4,2)

,( έχουν όμως ένα ακόμη με τετμημένη $x\simeq3.84477$ ).

Είναι φανερό ότι για την περίπτωση της ύπαρξης ενός μόνο επιπλέον κοινού σημείου ( εκτός του (0,0)

) ,

οπότε οι καμπύλες θα εφάπτονται , η λύση είναι αυτή του Λάμπρου με $a\simeq 1.24263376$

και τότε το

έχει συντεταγμένες περίπου τις : ( 3.92 , 1.98 )

Ρίζα και λογάριθμος

Ρίζα και λογάριθμος

Re: Ρίζα και λογάριθμος

Re: Ρίζα και λογάριθμος

Μέλη σε σύνδεση