Αντιπαράδειγμα

Tolaso J Kos · #1

Ψάχνω αντιπαράδειγμα για το παρακάτω:

Αν μία ακολουθία έχει άπειρες το πλήθος υπακολουθίες που συγκλίνουν στο ίδιο όριο τότε είναι και η ίδια συγκλίνουσα.

Al.Koutsouridis · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 09, 2018 11:48 am
Ψάχνω αντιπαράδειγμα για το παρακάτω:

Αν μία ακολουθία έχει άπειρες το πλήθος υπακολουθίες που συγκλίνουν στο ίδιο όριο τότε είναι και η ίδια συγκλίνουσα.

Η ακολουθία a_n = (-1)^n

με τις άπειρες υπακολουθίες παίρνοντας τους όρους πολλαπλάσιους του 2, 4, 6, κτλ. Νομίζω κάνει.

#3

... ή η ακολουθία $a_n=\cos(n\pi)\,,\; n\in\mathbb{N}\,,$ τις οποίας το όριο δεν υπάρχει, αλλά για κάθε $k\in\mathbb{N}$ η υπακολουθία $a_{2kn}=\cos(2kn\pi)=1\,,\; n\in\mathbb{N}\,,$ είναι σταθερή και έχει όριο το

.

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 09, 2018 11:48 am
Ψάχνω αντιπαράδειγμα για το παρακάτω:

Αν μία ακολουθία έχει άπειρες το πλήθος υπακολουθίες που συγκλίνουν στο ίδιο όριο τότε είναι και η ίδια συγκλίνουσα.

Τα δύο προηγούμενα παραδείγματα είναι μια χαρά αλλά αν θέλεις υπακολουθίες που δεν έχουν κανένα κοινό όρο, τότε
για κάθε πρώτο

η $\displaystyle{a_{p^n} = 1}$ και

στα υπόλοιπα, μας κάνει.

(Δηλαδή εδώ $a_2=a_4=a_8=a_{16} = ...= 1$ και $a_3=a_9=a_{27}=a_{81} = ...= 1$ , και λοιπά).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 09, 2018 11:48 am
Ψάχνω αντιπαράδειγμα για το παρακάτω:

Αν μία ακολουθία έχει άπειρες το πλήθος υπακολουθίες που συγκλίνουν στο ίδιο όριο τότε είναι και η ίδια συγκλίνουσα.

Δεν νομίζω ότι έχει τεθεί σωστά το ερώτημα.
Αν μια ακολουθία έχει συγκλίνουσα υπακολουθία τότε και κάθε υπακολουθία αυτής είναι συγκλίνουσα.
Ολες αυτές που είναι υπεραριθμήσιμες είναι υπακολουθίες της αρχικής.
Δηλαδή αν μια ακολουθία έχει μία συγκλίνουσα υπακολουθία τότε ισοδύναμα έχει άπειρες που συγκλίνουν στο ίδιο όριο.

Ενδιαφέρον είναι το εξής

Υπάρχει $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ μία ακολουθία και
$(a_{n})_{n\in A_{i}},i\in I$ (

άπειρο)
υπακολουθίες της που όλες έχουν το ίδιο όριο.
Επιπλέον $\mathbb{N}=\cup _{i\in I}A_{i}$
και η ακολουθία δεν συγκλίνει.

#6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 09, 2018 4:12 pm
Ενδιαφέρον είναι το εξής

Υπάρχει $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ μία ακολουθία και
$(a_{n})_{n\in A_{i}},i\in I$ ( άπειρο)
υπακολουθίες της που όλες έχουν το ίδιο όριο.
Επιπλέον $\mathbb{N}=\cup _{i\in I}A_{i}$
και η ακολουθία δεν συγκλίνει.

Ενδιαφέρον.

Θέτουμε $a_{2n}= 1, \, a_{2n+1}=0$ , οπότε δεν συγκλίνει.

Χωρίζουμε τώρα τους περιττούς σε αριθμήσιμο πλήθος άπειρων ξένων ανά δύο συνόλων
$I_1\cup I_2 \cup ... = \{2n+1 : \, n \in \mathbb N\}$ (απλό, και γίνεται τόξο υπαρξιακά όσο και κατασκευαστικά)

Οι υπακολουθίες είναι, για κάθε σταθερό

, οι $\displaystyle{\{a_{2n}\} \cup \{a_{k} \,: k\in I_n\} }$

Για κάθε σταθερό

αυτές συκλίνουν γιατί από έναν όρο και πέρα (μετά τον $\displaystyle{{2n} }$ ) είναι σταθερές

.

Tolaso J Kos · #7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 09, 2018 4:12 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 09, 2018 11:48 am
Ψάχνω αντιπαράδειγμα για το παρακάτω:

Αν μία ακολουθία έχει άπειρες το πλήθος υπακολουθίες που συγκλίνουν στο ίδιο όριο τότε είναι και η ίδια συγκλίνουσα.
Δεν νομίζω ότι έχει τεθεί σωστά το ερώτημα.

Σταύρο,

ήταν θέμα εξετάσεων σε θέμα Απειροστικού Ι. Το αντέγραψα αυτούσιο.

Αντιπαράδειγμα

Αντιπαράδειγμα

Re: Αντιπαράδειγμα

Re: Αντιπαράδειγμα

Re: Αντιπαράδειγμα

Re: Αντιπαράδειγμα

Re: Αντιπαράδειγμα

Re: Αντιπαράδειγμα

Μέλη σε σύνδεση