Κυρτή συνάρτηση φράγμα
Συντονιστής: emouroukos
Κυρτή συνάρτηση φράγμα
Έστω παραγωγίσιμη
για κάποιο ισχύει ότι και .
Να εξεταστεί αν υπάρχει παραγωγίσιμη και κυρτή στο
με και
και υπάρχει γνησίως αύξουσα ακολουθία με τέτοια ώστε
για κάποιο ισχύει ότι και .
Να εξεταστεί αν υπάρχει παραγωγίσιμη και κυρτή στο
με και
και υπάρχει γνησίως αύξουσα ακολουθία με τέτοια ώστε
τελευταία επεξεργασία από mikemoke σε Δευ Φεβ 19, 2018 10:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Κυρτή συνάρτηση φράγμα
Η τι είναι;
Παραγωγίσημη; δύο φορές παραγωγίσημη; η τίποτα.
Επίσης στην σημαίνει εννοείς ότι υπάρχει
με ;
Re: Κυρτή συνάρτηση φράγμα
Μια φορά παραγωγίσιμη είναι .ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Δευ Φεβ 19, 2018 11:26 amΗ τι είναι;
Παραγωγίσημη; δύο φορές παραγωγίσημη; η τίποτα.
Επίσης στην σημαίνει εννοείς ότι υπάρχει
με ;
Εννοώ για όλα τα .
Re: Κυρτή συνάρτηση φράγμα
Θα αποδείξουμε το γενικότερο . Πρόταση (A)
Έστω παραγωγίσιμη
για κάποιο ισχύει ότι με
Ισχύει και η υπόθεση (βλέπε πιο κάτω)
Τότε υπάρχει κυρτή και παραγωγίσιμη στο με
και υπάρχει γνησίως φθίνουσα ακολουθία με τέτοια ώστε
Θα αποδείξουμε πρώτα ότι υπάρχει κυρτή και παραγωγίσιμη που να είναι άνω φράγμα της σε μια περιοχή του και μετά να επεκταθούμε και στο .
Έστω και την εφαπτομένη της στο
Kάνουμε την υπόθεση
ότι
Αν δεν ισχύει η παραπάνω υπόθεση τότε
και τότε έπεται το
Έστω με
τότε και
Aν φθίνουσα ακολουθία με
τέτοια ώστε
Άρα
ATOΠΟ αφού
Έστω
υπάρχει διαμέριση του
και
τέτοια ώστε
και για
για
με για την οποία ισχύει
Ορίζουμε
και ως ευθεία διερχόμενη από σημεία
και ως ευθεία διερχόμενη από σημεία
Από έχουμε
Έστω ότι ακολουθία με για κάθε εν ( μη φραγμένο υποσύνολο του τέτοια ώστε
και
και την καλούμε περίπτωση
Aπό αυτά μπορούμε να συνάγουμε ότι
και
με την εφαπτομένη της σε σημείο
Παρατηρούμε ότι με
Άρα μπορούμε να επιλέξουμε κάθε με όπου το ελάχιστο στοιχεία του
ώστε να ισχύει
διαδοχικούς όρους εν και
Συνάγουμε ότι
Αν όπου
την οποία καλούμε περίπτωση
Eπομένως κατασκευάζεται που να φράσει την για μια περιοχή του ώστε τα στην περιοχή να είναι
Λόγω συμμετρία έχουμε τα ίδια για περιοχή του ώστε
Άρα αποδείχθηκε το
Προφανώς η ισχύει στην περίπτωση
Άρα μένει η
Άρα έχουμε
AN
Από έχουμε ότι που εφάπτεται σε
και φράσει άνω την για κάθε όπου περιοχή του
Aπό έχουμε ότι
Άρα και
Άρα έπεται η
Αλλιώς υπακολουθία της τέτοια ώστε :
και ή με
Από υπάρχει κυρτή , παραγωγίσιμη
Aπό αυτά έπεται η για την περίπτωση
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες