Εύρεση συνάρτησης - Ολοκλήρωμα

#1

Να βρεθούν οι συναρτήσεις f με πεδίο ορισμού το [0,1] , f(0)=0, f(1)=1 , έχουν συνεχή παράγωγο και ικανοποιούν τη σχέση :

$\displaysteyle \int_0^1 [x^2(f ' (x))^2 + f^2 (x) ] = \frac {\sqrt {5} - 1}{2}$

Μπάμπης

#2

Η δοθείσα γράφεται $\displaystyle \int^1_0 (xf^\prime(x)+\hat{\phi}f(x))^2dx=0$ ,

οπότε $\displaystyle xf^\prime(x)+\hat{\phi}f(x)dx=0 , \ \forall x \in [0,1]$ .

Από την τελευταία έχουμε $\displaystyle x^{\hat{\phi}}f(x)=c , \ \forall x \in (0,1)$ , οπότε λόγω συνέχειας

$\displaystyle f(x)=x^{\phi-1}, \ x \in [0,1$ ].

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Δεν καταλαβαίνω την λύση.
Θανάση μπορείς να την εξηγήσεις.

#4

Είναι όντως κάπως κρυπτογραφημένη η λύση. Εννοεί το εξής:

Έστω $\varphi = (1+\sqrt{5})/2$ και $\hat \varphi = 1 - \varphi = (1-\sqrt{5})/2$ . Τότε

$\displaystyle{ \begin{aligned} \int_0^1 (x f'(x) + \hat \varphi f(x))^2 \, dx &= \int_0^1 x^2(f'(x))^2 + f^2(x) \, dx + \int_0^1 2\hat \varphi x f'(x)f(x) + (\hat \varphi^2 - 1)f(x)^2 \, dx \\ &= \frac{\sqrt{5}-1}{2} + [\hat \varphi x f(x)^2]_0^1 \\ &= \frac{\sqrt{5}-1}{2} + \hat \varphi \end{aligned} }$

Χρησιμοποιήσαμε ότι $\hat \varphi^2 = \hat \varphi + 1$ .

Τα υπόλοιπα νομίζω είναι πλέον κατανοητά.

Εύρεση συνάρτησης - Ολοκλήρωμα

Εύρεση συνάρτησης - Ολοκλήρωμα

Re: Εύρεση συνάρτησης - Ολοκλήρωμα

Re: Εύρεση συνάρτησης - Ολοκλήρωμα

Re: Εύρεση συνάρτησης - Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση