Όριο

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\theta \in (0, 1)$ . Θεωρούμε την ακολουθία $\displaystyle{a_n = \left\{\begin{matrix} 0 & , & \left \lfloor n \theta \right \rfloor = \left \lfloor \left ( n-1 \right ) \theta \right \rfloor \\ 1 & , & \text{\gr αλλιώς} \end{matrix}\right.}$ . Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = \theta}$

ksofsa · #2

Καλησπέρα.

Εύκολα

$a_{n}=[n\theta ]-[(n-1)\theta ]$ .

Οπότε το άθροισμα είναι τηλεσκοπικό και το όριο γράφεται:

$\lim_{n\rightarrow \infty }\dfrac{[n\theta ]}{n}$ .

Όμως,

$\dfrac{n\theta -1}{n}\leq \dfrac{[n\theta ]}{n}\leq \dfrac{n\theta }{n}$ ,

και από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει το ζητούμενο.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση