Μια απόδειξη του Darboux.

abgd · #1

Ενδεχομένως να υπάρχει....

Αν η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{a,b \in \Delta}$ έτσι ώστε $\displaystyle{f'(a)\ne f'(b)}$ τότε για κάθε $\displaystyle{m}$ μεταξύ των $\displaystyle{f'(a), f'(b)}$ θα υπάρχει $\displaystyle{\xi \in \Delta}$ τέτοιο ώστε: $\displaystyle{f'(\xi)=m}$ .

Απόδειξη.

1. Αν μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ και $\displaystyle{f'(x)\ne 0, \ \ \forall x \in\Delta}$ τότε η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ .
Η απόδειξη είναι εύκολη με άτοπο και χρήση του θεωρήματος Rolle.

2. Αν μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής και $\displaystyle{1-1}$ στο διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ τότε είναι γνησίως μονότονη.
Η απόδειξη με άτοπο και χρήση του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών συνεχούς συνάρτησης.

3. Αν μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ και υπάρχουν $\displaystyle{a,b \in \Delta}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{f'(a)<0, \ \ f'(b)>0}$ , τότε θα υπάρχει $\displaystyle{\xi \in \Delta}$ τέτοιο ώστε: $\displaystyle{f'(\xi)=0}$ .
Απόδειξη
Έστω ότι το ζητούμενο δεν ισχύει. Θα είναι $\displaystyle{f'(x)\ne 0, \ \ \forall x \in\Delta}$
Από 1., 2. η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως μονότονη. Έστω ότι είναι γνησίως αύξουσα - ομοίως αν είναι γνησίως φθίνουσα.
Ισχύει $\displaystyle{\forall x, x_0 \in\Delta, x\ne x_0: \ \ \frac{f)x)-f(x_0)}{x-x_0}> 0}$ οπότε $\displaystyle{f'(x_0)>0 \ \ \forall x_0 \in \Delta}$ . Άτοπο.

Αποδεικνύουμε τώρα την πρόταση εφαρμόζοντας το 3. για την συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=f(x)-mx, \ \ x \in \Delta}$ .

abfx · #2

Καλημέρα.

Απόδειξη με παρόμοια ιδέα (με κάποιες διαφορές στην τεχνική), υπάρχει στο βιβλίο Mathematical Bridges
των Andreescu, Mortici και Tetiva στη σελίδα 232 (η πρώτη από τις δύο).

Ας σημειώσω επίσης για την παραπάνω ότι μάλλον θα πρέπει να τονίσουμε ότι μπορούμε να επιλέξουμε το $\xi$ να βρίσκεται μεταξύ
των

και

, που είναι και η ουσία του θεωρήματος.

#3

abfx έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 04, 2024 11:47 am
Απόδειξη με παρόμοια ιδέα (με κάποιες διαφορές στην τεχνική), υπάρχει στο βιβλίο Mathematical Bridges
των Andreescu, Mortici και Tetiva στη σελίδα 232 (η πρώτη από τις δύο).

Νομίζω ότι η απόδειξή σου έχει αρκετές διαφορές από των Andreescu και Mortici (η οποία είναι η αρχική του Darboux και την οποία πάντα ήξερα) ώστε να μπορούμε να την θεωρήσουμε νέα. Εμένα, πάντως, με εντυπωσίασε. Σίγουρα το κλειδί της είναι διαφορετικό από την αρχική απόδειξη του Darboux, γι' αυτό νομιμοποιείται να ονομάζεται νέα απόδειξη.

Κλέβοντας από την απόδειξή σου, την ξαναγράφω με δικά μου λόγια ώστε να φαίνεται απλούστερη (στην πραγματικότητα δεν προσθέτω τίποτα νέο):

Θέλουμε (ισοδύναμα) να δείξουμε ότι αν $f'(x) \ne 0$ για κάθε

σε ένα διάστημα, τότε η

διατηρεί το πρόσημό της. Έστω λοιπόν, χωρίς βλάβη, f'(a) >0

.

Από Rolle και την υπόθεση (*)

έπεται (ως γνωστόν) ότι η

είναι

. Άρα, ως συνεχής, από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, είναι γνησίως μονότονη σε όλο το διάστημα. Μάλιστα από την f'(a) >0

η είναι υποχρεωτικά γνήσια αύξουσα σε όλο το διάστημα. Ισχυρίζομιαι ότι δεν μπορεί να υπάχει

με $f'(b) \le 0$ , ισοδύναμα f'(b) <0

(διότι $f'(b)\ne 0$ ), διότι τότε γύρω από το

θα ήταν γνήσια φθίνουσα, πράγμα που δεν ισχύει. Τελειώσαμε.

abgd · #4

abfx έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 04, 2024 11:47 am

Ας σημειώσω επίσης για την παραπάνω ότι μάλλον θα πρέπει να τονίσουμε ότι μπορούμε να επιλέξουμε το $\xi$ να βρίσκεται μεταξύ
των και , που είναι και η ουσία του θεωρήματος.

Η ουσία του θεωρήματος είναι το ενδιάμεσο του $\displaystyle{f'(\xi)}$ και όχι του $\displaystyle{\xi}$ .

Μπορούμε όμως να δούμε εύκολα ότι και το $\displaystyle{\xi}$ είναι μεταξύ των $\displaystyle{a,b}$ αλλάζοντας την διατύπωση της πρότασης, με το διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ να συμπίπτει με το διάστημα που ορίζουν τα $\displaystyle{a,b}$ .

Μια απόδειξη του Darboux.

Μια απόδειξη του Darboux.

Re: Μια απόδειξη του Darboux.

Re: Μια απόδειξη του Darboux.

Re: Μια απόδειξη του Darboux.

Μέλη σε σύνδεση