Μελέτη τετραπλεύρου

KARKAR · #1

: Μελέτη τετραπλεύρου.png (17.7 KiB) Προβλήθηκε 2102 φορές

Το τετράπλευρο ABCD

κατασκευάστηκε με κάθετες διαγωνίους και πλευρές AB=4,BC=5, CD=6

.

α) Να υπολογισθεί το μήκος της πλευράς

β) Να υπολογισθεί το μήκος των διαγωνίων , αν αυτές είναι ίσες .

Σημείωση : Για το ερώτημα β) δεν έχω απάντηση , μπορώ όμως να υποθέσω ότι σχεδόν σίγουρα έχει λυθεί !

* Όπως εύστοχα παρετήρησαν Βισβίκης και Μπαλόγλου , δυστυχώς το τετράπλευρο δεν είναι εγγράψιμο

#2

(a) Όπως έχει αποδειχθεί/συζητηθεί εδώ, το ABCD

έχει κάθετες διαγωνίους AC, BD

αν και μόνον αν |AB|^2+|CD|^2=|BC|^2+|AD|^2

, οπότε άμεσα προκύπτει η $|AD|=3\sqrt{3}$ .

(b) Αν

η τομή των καθέτων διαγωνίων AC, BD

και

, τότε από το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε

$|BK|=\sqrt{|AB|^2-|AK|^2}=\sqrt{16-x^2}$

$|DK|=\sqrt{|AD|^2-|AK|^2}=\sqrt{27-x^2}$

$|CK|=\sqrt{|CD|^2-|DK|^2}=\sqrt{36-(27-x^2)}=\sqrt{9+x^2}$ ,

οπότε η ζητούμενη ισότητα |AC|=|BD|

καθίσταται ισοδύναμη προς την

$x+\sqrt{9+x^2}=\sqrt{16-x^2}+\sqrt{27-x^2}$ .

Η επίλυση της παραπάνω εξίσωσης δεν είναι εύκολη. Ύστερα από τις πράξεις φαίνεται να καταλήγουμε σε μία αρτίων όρων εξίσωση ογδόου βαθμού, που είναι βέβαια αλγεβρικά επιλύσιμη ως τεταρτοβάθμια. Η μόνη αποδεκτή πραγματική λύση δίνεται στα συνημμένα (WolframAlpha), οπότε από $x\approx2,9$ προκύπτει η $|AC|=|BD|\approx7,07$ .

Γιώργος Μπαλόγλου

#3

Μια ματιά στην μορφή της λύσης θα έπρεπε να μας είχε βάλει σε σκέψεις: πράγματι η ως προς x^2

τεταρτοβάθμιος είναι στην πραγματικότητα δευτεροβάθμιος, ανάγεται δηλαδή η

$x+\sqrt{9+x^2}=\sqrt{16-x^2}+\sqrt{27-x^2},$

ύστερα από δύο υψώσεις στο τετράγωνο*, στις

x^2(16x^4-272x^2+1156)(x^2+9)=(143+16x^2-4x^4)^2

και, τελικά, στην διτετράγωνη

404x^4-5828x^2+20449=0.

Η τελευταία δίνει

$x^2=\displaystyle\frac{1457\pm50\sqrt{23}}{202},$

οπότε το νέο ερώτημα που προκύπτει είναι ... γιατί δεν (;) είναι αποδεκτή -- κατά το WolframAlpha τουλάχιστον, βλέπετε προηγούμενη δημοσίευση -- η λύση που αντιστοιχεί στο

(Θα επανέλθουμε ... δριμύτεροι, ελπίζω!)

*από την ενδιάμεση μορφή είναι φανερό ότι μηδενίζεται ο συντελεστής του x^8

, και όχι και τόσο φανερό ότι μηδενίζεται ΚΑΙ ο συντελεστής του x^6

Γιώργος Μπαλόγλου

#4

Λοιπόν η λύση που αντιστοιχεί στην $x^2=\displaystyle\frac{1457-50\sqrt{23}}{202}\approx6,025,$ ΔΕΝ είναι αποδεκτή ... επειδή στο δεύτερο στάδιο* της αναγωγής της αρχικής εξίσωσης στην διτετράγωνη,

$x(4x^2-34)\sqrt{x^2+9}=143+16x^2-4x^4,$

καθιστά αρνητικό το αριστερό σκέλος και θετικό το δεξιό σκέλος!

[Ας σημειωθεί εδώ ότι η $x^2=\displaystyle\frac{1457+50\sqrt{23}}{202}\approx8,4$ ... καθιστά ΚΑΙ τα δύο σκέλη αρνητικά, άρα δεν έχουμε πρόβλημα!]

*είχα κάπως χάσει τον λογαριασμό, έχουμε τελικά ΤΡΕΙΣ υψώσεις στο τετράγωνο, και η παραπάνω είναι η δεύτερη

Γιώργος Μπαλόγλου

#5

gbaloglou έγραψε:
οπότε το νέο ερώτημα που προκύπτει είναι ... γιατί δεν (;) είναι αποδεκτή -- κατά το WolframAlpha τουλάχιστον, βλέπετε προηγούμενη δημοσίευση -- η λύση που αντιστοιχεί στο (Θα επανέλθουμε ... δριμύτεροι, ελπίζω!)

Αν και δεν είναι να το εμπιστεύεσαι απόλυτα, εδώ το wolframalpha είναι σωστό. Μπορείς να ελέγξεις ότι το - πράγματι δεν δίνει λύση. Ο λόγος που βρίσκεις περισσότερες λύσεις είναι απλός: Ύψωσες στο τετράγωνο!

Δεν είχα προσέξει την επόμενη ανάρτηση.

#6

Στο συνημμένο εξετάζεται η ύπαρξη κυρτού τετραπλεύρου με ισοκάθετες διαγωνίους όταν δίνονται δύο μόνον πλευρές (μηκών

και

): ποια είναι η ανώτατη δυνατή τιμή -- ακριβέστερα, το ελάχιστο άνω φράγμα -- που μπορεί να λάβει η τρίτη δοθείσα πλευρά; [Πειραματική επίλυση στο WolframAlpha και γεωμετρική ματιά που απλοποιεί τα πράγματα -- τι γίνεται με την κατώτατη δυνατή τιμή της τρίτης πλευράς;]

Γιώργος Μπαλόγλου

#7

Στέλνω, συνημμένη, και την δεύτερη ακραία περίπτωση.

Γιώργος Μπαλόγλου

#8

Όπως είχα ήδη υπαινιχθεί, η δεύτερη ακραία περίπτωση (τετραπλεύρου με μήκη δύο διαδοχικών πλευρών 4, 5

και ισοκάθετες διαγωνίους) είναι λιγότερο προφανής από την πρώτη, και στην αμέσως προηγούμενη δημοσίευση μου η εύρεση της έχει γίνει πειραματικά (WolframAlpha). Αν θέλουμε μία ακριβή λύση εργαζόμαστε, με αναφορά στο συνημμένο, ως εξής:

Αντικαθιστώντας τις $x=\sqrt{16-w^2}$ και $z=\sqrt{25-w^2}$ στην x+z=w

λαμβάνουμε, ύστερα από ύψωση στο τετράγωνο και λίγες πράξεις, την διτετράγωνη

5w^4-82w^2+81=0

και από αυτήν την

$w=\sqrt{\displaystyle\frac{41+2\sqrt{319}}{5}}\approx3,9172.$

[Η άλλη θετική λύση της διτετράγωνης απορρίπτεται επειδή καθιστά αρνητικό το δεξιό σκέλος της $2\sqrt{16-w^2}\sqrt{25-w^2}=3w^2-41$ (που προκύπτει στην πορεία μας προς την διτετράγωνη και αμέσως πριν την ύψωση στο τετράγωνο).]

Όσα έχω γράψει σ αυτήν την συζήτηση γενικεύονται άμεσα στο εξής αποτέλεσμα:

Αν

είναι το κοινό μήκος ισοκαθέτων διαγωνίων μη εκφυλισμένου κυρτού τετραπλεύρου με γνωστά μήκη διαδοχικών πλευρών a, b,

τότε

$\sqrt{\displaystyle\frac{a^2+b^2+2\sqrt{3a^2b^2-a^4-b^4}}{5}}<L<a+b,$

με τα δύο φράγματα να είναι τα καλύτερα δυνατά (όπως δείχνουν τα παραδείγματα μας).

Η παραπάνω ανισότητα μας δίνει και το ελάχιστο και μέγιστο δυνατό εμβαδόν για κυρτό τετράπλευρο με ισοκάθετες διαγωνίους και γνωστά μήκη δύο διαδοχικών πλευρών. Προκύπτει επίσης ότι σε κάθε κυρτό τετράπλευρο με ισοκάθετες διαγωνίους οποιεσδήποτε δύο διαδοχικές πλευρές μηκών a, b

οφείλουν να ικανοποιούν την $3a^2b^2\geq a^4+b^4$ (να έχουν δηλαδή λόγο r=a/b

ανάμεσα στις $2-\phi$ και $1+\phi$ , όπου $\phi\approx1,618$ η χρυσή τομή).

Γιώργος Μπαλόγλου

Μελέτη τετραπλεύρου

Μελέτη τετραπλεύρου

Re: Μελέτη τετραπλεύρου

Re: Μελέτη τετραπλεύρου

Re: Μελέτη τετραπλεύρου

Re: Μελέτη τετραπλεύρου

Re: Μελέτη τετραπλεύρου

Re: Μελέτη τετραπλεύρου

Re: Μελέτη τετραπλεύρου

Μέλη σε σύνδεση