Να αποδείξετε ότι
Συντονιστής: gbaloglou
-
vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2308
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Να αποδείξετε ότι
Δεν μπόρεσα να σκεφτώ μία γεωμετρική απόδειξη.
Ας δούμε μία τριγωνομετρική προσέγγιση, αλλά με "τοπογραφική" μέθοδο ( με χρήση απλού scientific calculator
) .
Με βάση το Θεώρημα ημιτόνων στα κατάλληλα τρίγωνα καταλήγουμε ως ισοδύναμο προς απόδειξη ζητούμενο στην ισότητα :
![\displaystyle sin 14^{o}[sin 48^{o}sin 108^{o} + sin 76^{o}(sin 48^{o} + sin24^{o})] = sin 34^{o}sin 56^{o}sin 108^{o}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/54555118b27284e728c15f3003e031e8.png "\displaystyle sin 14^{o}[sin 48^{o}sin 108^{o} + sin 76^{o}(sin 48^{o} + sin24^{o})] = sin 34^{o}sin 56^{o}sin 108^{o}")
η οποία ισχύει,
αφού με αντικατάσταση των αντίστοιχων τιμών ημιτόνων παίρνουμε :
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα ήταν απίθανη μία τέτοια προσέγγιση με λάθος στις πράξεις, αλλά ποτέ δεν ξέρεις.
Ας δούμε μία τριγωνομετρική προσέγγιση, αλλά με "τοπογραφική" μέθοδο ( με χρήση απλού scientific calculator
) . Με βάση το Θεώρημα ημιτόνων στα κατάλληλα τρίγωνα καταλήγουμε ως ισοδύναμο προς απόδειξη ζητούμενο στην ισότητα :
η οποία ισχύει,αφού με αντικατάσταση των αντίστοιχων τιμών ημιτόνων παίρνουμε :
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα ήταν απίθανη μία τέτοια προσέγγιση με λάθος στις πράξεις, αλλά ποτέ δεν ξέρεις.
Re: Να αποδείξετε ότι
Διαιρούμε και τα δύο μέλη με 
, οπότε έχουμε 
,
ή
Από το νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα
και αντικατάσταση κάθε κλάσματος στην παραπάνω σχέση προκύπτει:
.
Το δεύτερο μέλος της παραπάνω σχέσης απλοποιείται με τη βοήθεια των τριγωμονετρικών ταυτοτήτων
και 
ως εξής:
Οπότε η σχέση γίνεται:
ή
ή
ή
ή
ή (επειδή 
)
ή
Η παραπάνω σχέση ισχύει διότι αποδεικνύεται ότι κάθε μέλος της ισούται με
.
Για το 1ο μέλος έχουμε:
διότι
.
Για το δεύτερο μέλος έχουμε:
( 
)
(
)
.
Ως μαθηματικός όμως δεν είμαι ικανοποιημένος! Θα συνεχίσω μέχρι να βρω και μία ... "καθαρά Ευκλείδια" γεωμετρική λύση!
, οπότε έχουμε ,ή
Από το νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα
και αντικατάσταση κάθε κλάσματος στην παραπάνω σχέση προκύπτει: .Το δεύτερο μέλος της παραπάνω σχέσης απλοποιείται με τη βοήθεια των τριγωμονετρικών ταυτοτήτων
και ως εξής:Οπότε η σχέση γίνεται:
ή ή ή ή ή (επειδή ) ήΗ παραπάνω σχέση ισχύει διότι αποδεικνύεται ότι κάθε μέλος της ισούται με
.Για το 1ο μέλος έχουμε:
διότι
.Για το δεύτερο μέλος έχουμε:
( ) ( ) .Ως μαθηματικός όμως δεν είμαι ικανοποιημένος! Θα συνεχίσω μέχρι να βρω και μία ... "καθαρά Ευκλείδια" γεωμετρική λύση!
Re: Να αποδείξετε ότι
Μετά από τρία χρόνια ο μεγάλος γεωμέτρης Απόστολος Μανωλούδης κατάφερε να μας χαρίσει μια καθαρά γεωμετρική λύση σε αυτό το πρόβλημα!
Τον ευχαριστώ πολύ!
Υ.Γ. Μόλις βρω χρόνο θα ανεβάσω και αναλυτικά τη λύση του!
Τον ευχαριστώ πολύ!
Υ.Γ. Μόλις βρω χρόνο θα ανεβάσω και αναλυτικά τη λύση του!
- manoloudis.jpg (80.91 KiB) Προβλήθηκε 905 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες