Ἀνοικτό πρόβλημα

[paulgai]

Λαμβάνοντας υπόψιν την προηγούμενη παρατήρηση προκύπτει ότι αφού και . Όμοια μπορούμε να υπολογίσουμε όλες τις πλευρές του εσωτερικού πενταγώνου. Παρατηρούμε ότι το εσωτερικό πεντάγωνο είναι όμοιο με το αρχικό με λόγο αναλογία , επομένως o λόγος το εμβαδών θα είναι:

[gbaloglou]

Πολύ ωραία, με την συνδρομή του Παύλου και του Mathematica* έχουμε φτάσει σε μια πολύ όμορφη εικασία: ο λόγος των εμβαδών μεγιστοποιείται σε εκείνα ακριβώς τα πεντάγωνα όπου η κάθε διαγώνιος είναι παράλληλη προς μία πλευρά!

*θυμίζω με την ευκαιρία και αυτό

[gbaloglou]

Πολύ ωραία, με την συνδρομή του Παύλου και του Mathematica έχουμε φτάσει σε μια πολύ όμορφη εικασία: ο λόγος των εμβαδών μεγιστοποιείται σε εκείνα ακριβώς τα πεντάγωνα όπου η κάθε διαγώνιος είναι παράλληλη προς μία πλευρά!

Με αφορμή αυτό, ο Γιώργος Τσίντσιφας, που συνάντησα για άλλους λόγους σήμερα το πρωί, προτείνει την εξής προσέγγιση: με δεδομένο ότι κάθε κυρτό πεντάγωνο εγγράφεται σε έλλειψη, και κάθε έλλειψη απεικονίζεται ομοπαραλληλικά (affinely) σε κύκλο, να διερευνηθεί η πιθανότητα αναγωγής του προβλήματος σε πεντάγωνα εγγεγραμμένα σε κύκλο. [Πιθανολογώ ότι η προσέγγιση Τσίντσιφα επιλύει το πρόβλημα επαληθεύοντας την παραπάνω εικασία, αλλά προς το παρόν δεν έχω χρόνο να το δω.]

[Al.Koutsouridis]

Καλημέρα,

Μια σκέψη, το πιο πιθανό μπαρούφα, γιατί οι γνώσεις και δυνατότητες μου δεν επαρκούν παραπέρα.

Υπάρχει περίπτωση να χρησμιποιηθεί κάπως η ανισότητα Brunn-Minkowski για την περίπτωση κυρτών σχημάτων και εφαρμογή στο εμβαδόν;

Στην σκέψη αυτή με παρακίνησε το γεγονός οτι η ισότητα στην ανισότητα ισχύει όταν τα σχήματα είναι ομοιόθετα. Στην περίπτωσή μας η εικασία λέει το ίδιο (συν μια κατάλληλη περιστροφή).

Ποιό καλα στην περίπτωση των εμβαδών η ανισότητα φαίνεται π.χ εδώ .