3 τόξα κύκλου!

#1

Ας δούμε διάφορες λύσεις στο παρακάτω πρόβλημα:

Σε κύκλο, θεωρούμε τρία, ανά δύο ξένα μεταξύ τους, τόξα $\displaystyle{AB,CD,EF}$ , $\displaystyle{60^{o}}$ έκαστο. Αποδείξτε ότι, τα μέσα των χορδών που ορίζονται από τα τόξα $\displaystyle{BC,DE, FA}$ , είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου.

chris · #2

Απο οτι βλέπω ο φάκελος του καθηγητή δεν νομίζω να μου πάει πολύ

Νομίζω όμως οτι κάτι έχω

Έστω

τα τρία τόξα $60^{o}$ το καθένα.Αν K,M,N

τα μέσα των χορδών BC,DE,FA

αντίστοιχα θα αποδείξουμε οτι το τρίγωνο KMN

είναι ισόπλευρο.

Έστω L,P

τα μέσα των ακτίνων OF,OC

αντίστοιχα και τότε τα τετράπλευρα OLEM,OPDM

είναι εγγράψιμα αφού $OM\perp ED$ ως απόστημα και $EL\perp OF,DP\perp OC$ ως ύψοι-διάμεσοι στα ισόπλευρα $\triangle{OFE},\triangle{ODC}$ .

Έχουμε: $\displaystyle \angle{LMP}=\angle{LMO}+\angle{PMO}=\angle{LEO}+\angle{ODP}=60^{o}$

Το τετράπλευρο EDCF

είναι ισοσκελές τραπέζιο και ισχύει $ED\parallel FC\parallel LP$ και εύκολα προκύπτει ML=MP

και άρα το $\triangle{LMP}$ είναι ισόπλευρο.
Αν $\left\{Z \right\}\equiv NL \cap KP$ τότε:

$\displaystyle \begin{Vmatrix} NL\parallel OA \\ PK\parallel OB \\ \angle{AOB}=60^{o} \\ \end{Vmatrix}\Rightarrow \angle{NZK}=60^{o}=\angle{LMP}\Rightarrow MZPL \; \; \varepsilon \gamma \gamma \rho \alpha \psi \iota \mu o$

Τέλος:
$\displaystyle \begin{Vmatrix} \angle{MLZ}=\angle{MPZ}\Rightarrow \angle{KPM}=\angle{NLM} \\ NL=KP \\ ML=MP \\ \end{Vmatrix}\Rightarrow \triangle{NLM}=\triangle{KPM}\Rightarrow \triangle{KMN}\; \iota \sigma o\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho o$

: isopleuro.png (53.93 KiB) Προβλήθηκε 1373 φορές

Ανδρέας Πούλος · #3

Για 3 όμορφες αποδείξεις αυτού του θεωρήματος, δείτε στις σελίδες 71 έως 73 του βιβλίου του Χρήστου Μπαλόγλου "Σκόρπιες Σταγόνες Γεωμεμετρίας",
αυτέκδοση, Θεσσαλονίκη, 2001.
Πρόκειται για τον πατέρα του Γιώργου, ο οποίος δεν είναι πλέον εν ζωή,
δάσκαλου των Μαθηματικών σε ιδιωτικά σχολεία και φροντιστήρια της Θεσσαλονίκης.
Χρήσιμο βιβλίο για ειδικά θέματα Γεωμετρίας.

Φιλικά
Ανδρέας Πούλος

#4

ας δούμε κι ...ε δ ώ... δύο αποδείξεις

#5

Στον ΑΠΟΛΛΩΝΙΟ τεύχος 1 δίνονται δύο ακόμα λύσεις του Νίκου Δεργιαδέ και του Νίκου Ιωσηφίδη. (Βλέπε Συνημμένα).

Στο 2ο τεύχος έδωσε δύο ακόμα αποδείξεις ο Νίκος Κυριαζής και ο Θεόφιλος Χρυσοστομίδης.
Στο 3ο τεύχος ο Νίκος Κυριαζής δίνει κάποιες ενδιαφέρουσες Επεκτάσεις -Προεκτάσεις της πρότασης του Ισοπλεύρου Τριγώνου.

Εφόσον υπάρχει ενδιαφέρον και με τη σύμφωνη γνώμη του Νίκου, θα μπορούσαμε να αναρτήσουμε τα σχετικά κείμενα.

Να επαναλάβουμε εδώ ότι τα λίγα μεν αλλά αξιολογότατα Μαθηματικά περιοδικά που κυκλοφόρησαν ή κυκλοφορούν επιβάλλεται να συμπληρώνουν τη βιβλιοθήκη κάθε μαχόμενου Μαθηματικού.

Γιώργος Ρίζος

3 τόξα κύκλου!

3 τόξα κύκλου!

Re: 3 τόξα κύκλου!

Re: 3 τόξα κύκλου!

Re: 3 τόξα κύκλου!

Re: 3 τόξα κύκλου!

Μέλη σε σύνδεση