Kάθετες Εφαπτομένες Κωνικής
Συντονιστής: gbaloglou
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4454
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Kάθετες Εφαπτομένες Κωνικής
Στο θέμα που έστειλε ο Στέλιος Μαρίνης:
viewtopic.php?f=53&t=11640&p=63625#p63625
(που μέσα στην δίνη των δημοσιεύσεων μάλλον ξεχάστηκε)
ζητείται να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που έχουν την ιδιότητα οι εφαπτόμενες που άγονται
από αυτά προς την καμπύλη με εξίσωση να είναι κάθετες. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η καμπύλη αυτή είναι κύκλος.
Τίθεται λοιπόν το ερώτημα:
Θεωρούμε μία κωνική τομή .
Θεωρούμε τα σημεία Μ από τα οποία άγονται κάθετες εφαπτόμενες στην .
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ.
Μαυρογιάννης
________________________________________________________________
Λέξεις κλειδιά: Κωνική, Κωνικές, τομή, τομές, εφαπτομένες, κάθετες
viewtopic.php?f=53&t=11640&p=63625#p63625
(που μέσα στην δίνη των δημοσιεύσεων μάλλον ξεχάστηκε)
ζητείται να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που έχουν την ιδιότητα οι εφαπτόμενες που άγονται
από αυτά προς την καμπύλη με εξίσωση να είναι κάθετες. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η καμπύλη αυτή είναι κύκλος.
Τίθεται λοιπόν το ερώτημα:
Θεωρούμε μία κωνική τομή .
Θεωρούμε τα σημεία Μ από τα οποία άγονται κάθετες εφαπτόμενες στην .
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ.
Μαυρογιάννης
________________________________________________________________
Λέξεις κλειδιά: Κωνική, Κωνικές, τομή, τομές, εφαπτομένες, κάθετες
τελευταία επεξεργασία από nsmavrogiannis σε Δευ Μάιος 30, 2011 1:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση παροράματος. Ευχαριστώ τον Κ. Δόρτσιο.
Λόγος: Διόρθωση παροράματος. Ευχαριστώ τον Κ. Δόρτσιο.
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: Kάθετες Εφαπτομένες Κωνικής
Περίπτωση: Κύκλοςnsmavrogiannis έγραψε: Θεωρούμε μία κωνική τομή .
Θεωρούμε τα σημεία από τα οποία άγονται κάθετες εφαπτόμενες στην .
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων .
Σε κύκλο με κέντρο κι ακτίνα ο γεωμετρικός τόπος των κάθετων εφαπτομένων από εξωτερικό σημείο του είναι ο κύκλος με κέντρο κι ακτίνα .
Απόδειξη
Ευθύ
Έστω τα σημεία επαφής των κάθετων εφαπτόμενων από το σημείο πρός τον κύκλο .
Θα αποδείξουμε ότι το σημείο ανήκει στον κύκλο ).
Το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία είναι ορθογώνιο γιατί έχει ορθές γωνίες.
Επειδή και το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο τότε θα έχει διαγώνιο από πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο .
Επειδή το σημείο Μ απέχει σταθερή απόσταση απο το σημείο , θα ανήκει σε κύκλο με κέντρο κι ακτίνα .
Αντίστροφο
Θεωρούμε τους κύκλους και .
Έστω σημείο του εξωτερικού κύκλου και τα σημεία επαφής των εφαπτόμενων από το σημείο προς τον κύκλο.
Θα αποδείξουμε ότι οι παραπάνω εφαπτόμενες είναι κάθετες.
Με πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο επειδή και προκύπτει ότι .
Τα εφαπτόμενα τμήματα από σημείο εκτός κύκλου είναι ίσα οπότε .
Το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία είναι ρόμβος επειδή έχει πλευρές ίσες, τις .
κι επειδή έχει μία ορθή, είναι ορθογώνιο.
Άρα η γωνία των εφαπτόμενων είναι ορθή, δηλαδή οι εφαπτόμενες που άγονται από τα σημεία είναι κάθετες προς τον κύκλο .
Υ.Γ. Να με συγχωρήσετε για το παιδικό σχήμα, κάποια στιγμή θα ασχοληθώ με το Geogebra.
edit: Διόρθωση
- Συνημμένα
-
- kyklos.PNG (4.03 KiB) Προβλήθηκε 1131 φορές
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Παρ Δεκ 16, 2011 11:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: Kάθετες Εφαπτομένες Κωνικής
Περίπτωση: Έλλειψη
Σε έλλειψη με εστίες και μήκος μεγάλου άξονα , ο γεωμετρικός τόπος των κάθετων εφαπτομένων από εξωτερικό σημείο της είναι ο κύκλος με κέντρο το μέσο των εστιών κι ακτίνα (όπου μήκος μικρού άξονα ).
Απόδειξεις
εδώ κι εδώ
Οι παραπάνω αποδείξεις αναφέρονται σε έλλειψη με κέντρο την αρχή την αξόνων.
Οποιαδήποτε έλλειψη μετασχηματίζεται στη παραπάνω μορφή με περιστροφή ή παράλληλη μεταφορά αξόνων.
edit: Διόρθωση
Σε έλλειψη με εστίες και μήκος μεγάλου άξονα , ο γεωμετρικός τόπος των κάθετων εφαπτομένων από εξωτερικό σημείο της είναι ο κύκλος με κέντρο το μέσο των εστιών κι ακτίνα (όπου μήκος μικρού άξονα ).
Απόδειξεις
εδώ κι εδώ
Οι παραπάνω αποδείξεις αναφέρονται σε έλλειψη με κέντρο την αρχή την αξόνων.
Οποιαδήποτε έλλειψη μετασχηματίζεται στη παραπάνω μορφή με περιστροφή ή παράλληλη μεταφορά αξόνων.
edit: Διόρθωση
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Παρ Δεκ 16, 2011 11:33 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: Kάθετες Εφαπτομένες Κωνικής
Περίπτωση: Υπερβολή
Σε υπερβολή με εστίες και απόσταση κορυφών , ο γεωμετρικός τόπος των κάθετων εφαπτομένων από σημείο είναι ο κύκλος με κέντρο το μέσο των εστιών κι ακτίνα (όπου ).
Απόδειξη
ευθύ κι αντίστροφο
Οι παραπάνω αποδείξεις αναφέρονται σε υπερβολή με κέντρο την αρχή την αξόνων.
Οποιαδήποτε υπερβολή μετασχηματίζεται στη παραπάνω μορφή με περιστροφή ή παράλληλη μεταφορά αξόνων.
edit: Διόρθωση
Σε υπερβολή με εστίες και απόσταση κορυφών , ο γεωμετρικός τόπος των κάθετων εφαπτομένων από σημείο είναι ο κύκλος με κέντρο το μέσο των εστιών κι ακτίνα (όπου ).
Απόδειξη
ευθύ κι αντίστροφο
Οι παραπάνω αποδείξεις αναφέρονται σε υπερβολή με κέντρο την αρχή την αξόνων.
Οποιαδήποτε υπερβολή μετασχηματίζεται στη παραπάνω μορφή με περιστροφή ή παράλληλη μεταφορά αξόνων.
edit: Διόρθωση
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Παρ Δεκ 16, 2011 11:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Re: Kάθετες Εφαπτομένες Κωνικής
Περίπτωση: Παραβολή
Σε παραβολή με εστία και διευθετούσα , ο γεωμετρικός τόπος των κάθετων εφαπτομένων από σημείο εκτός παραβολής είναι η διευθετούσα .
Απόδειξη
ευθύ κι αντίστροφο
Η παραπάνω απόδειξη αναφέρεται σε παραβολή της μορφής με .
Οποιαδήποτε παραβολή μετασχηματίζεται στην παραπάνω μορφή με περιστροφή ή παράλληλη μεταφορά αξόνων.
Υ.Γ. Το παρόν θέμα ''κάθετες εφαπτομένες κωνικής'' καλύφθηκε πλήρως.
Αν κάποιος έχει κάποια άλλη απόδειξη στο μυαλό του, ας την μοιραστεί μαζί μας στην καταλληλη παραπομπή.
edit: Διόρθωση
Σε παραβολή με εστία και διευθετούσα , ο γεωμετρικός τόπος των κάθετων εφαπτομένων από σημείο εκτός παραβολής είναι η διευθετούσα .
Απόδειξη
ευθύ κι αντίστροφο
Η παραπάνω απόδειξη αναφέρεται σε παραβολή της μορφής με .
Οποιαδήποτε παραβολή μετασχηματίζεται στην παραπάνω μορφή με περιστροφή ή παράλληλη μεταφορά αξόνων.
Υ.Γ. Το παρόν θέμα ''κάθετες εφαπτομένες κωνικής'' καλύφθηκε πλήρως.
Αν κάποιος έχει κάποια άλλη απόδειξη στο μυαλό του, ας την μοιραστεί μαζί μας στην καταλληλη παραπομπή.
edit: Διόρθωση
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες