Σφαιρική πυραμίδα

erxmer · #1

Διαβάζοντας την στερεομετρία του Πάλλα έπεσα στην εξής ενδιαφέρουσα άσκηση (874, σελ 275)
Να ευρεθεί ο όγκος κανονικής σφαιρικής πυραμίδας, της οποίας η κορυφή είναι το κέντρο της σφαίρας ακτίνας ρ και βάση το κανονικό σφαιρικό πεντάγωνο της ίδιας σφαίρας, το οποίο αντιστοιχεί σε μια έδρα κανονικού δωδεκάεδρου εγγεγραμμένου σε αυτήν την σφαίρα.

Υγ καθότι νέος στο χώρο της στερεομετρίας (εκτός παντού γυμνάσιο, λύκειο, Μαθ. Αθήνας κτλ.) κάθε βοήθεια δεκτή.

#2

Θα επαναλάβω όσο γίνεται απλά, στοιχεία που αναφέρονται σχεδόν σ' όλα τα βιβλία Στερεομετρίας.
1ο) Σφαιρικό τρίγωνο είναι το τρίγωνο που έχει κορυφές τρία σημεία που ανήκουν στην επιφάνεια μιας σφαίρας
και πλευρές τα τόξα μεγίστων κύκλων της σφαίρας αυτής.(Μέγιστοι κύκλοι είναι εκείνοι που έχουν κέντρο το κέντρο της σφαίρας και ακτίνα
την ακτίνα της σφαίρας) (πρώτο σχήμα)
Γωνίες του σφαιρικού τριγώνου είναι οι γωνίες που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες των τόξων αυτών στις κορυφές του τριγώνου.
Ισχύει: Το άθροισμα των τριών γωνιών σφαιρικού τριγώνου είναι μεγαλύτερο από 2 ορθές και μικρότερο από 6 ορθές.
Το πλέον των 2 ορθών γωνιών ποσό του αθροίσματος των τριών γωνιών ενός σφαιρικού τριγώνου
λεγεται σφαιρική υπεροχή και συμβολίζεται με το 2Ε. Δηλαδή 2Ε=Α+Β+Γ-2 ορθές.
2ο) Τριγωνική σφαιρική πυραμίδα είναι η πυραμίδα που έχει κορυφή το κέντρο μιας σφαίρας
και βάση ένα σφαιρικό τρίγωνο της σφαίρας αυτής. (Σχήμα 2)
Ο όγκος μιας τέτοιας σφαιρικής πυραμίδας δίνεται από τον τύπο:
$V(K.AB\Gamma )=\frac{1}{6}\left(A+B+\Gamma -2 \right)\pi R^3$
Γενικότερα για μια πολυγωνική σφαιρική πυραμίδα ισχύει:
$V=\frac{1}{6}\left(2E \right)\pi R^3$
όπου 2Ε η σφαιρική της υπεροχή.

Στη συγκεκριμένη περίπτωση της σφαιρικής κανονικκής πενταγωνικής πυραμίδας επειδή το κανονικό σφαιρικό πεντάγωνο έχει σφαιρική υπεροχή
$2E=5.(1+\frac{1}{3})-2=\frac{14}{3}o\rho \theta \epsilon \varsigma$
Άρα ο όγκος της είναι:
$V=\frac{7}{9}\pi R^3$
(Παρέκαμψα τον υπολογισμό της σφαιρικής υπεροχής)

Σφαιρική πυραμίδα

Σφαιρική πυραμίδα

Re: Σφαιρική πυραμίδα

Μέλη σε σύνδεση