Υπερβολή

Eukleidis · #1

Από την κατεύθυνση γνωρίζουμε ότι η εξίσωση μιας υπερβολης έχει εξίσωση $\displaystyle{\tfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \tfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1}$ ενώ απο το γυμνάσιο λέμε οτι υπερβολη είναι και η $\displaystyle{xy = a}$ . Πως από την πρώτη πάμε στη δευτερη?

#2

Eukleidis έγραψε:Από την κατεύθυνση γνωρίζουμε ότι η εξίσωση μιας υπερβολης έχει εξίσωση $\displaystyle{\tfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \tfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1}$ ενώ απο το γυμνάσιο λέμε οτι υπερβολη είναι και η $\displaystyle{xy = a}$ . Πως από την πρώτη πάμε στη δευτερη?

Κάνοντας στροφή των αξόνων.

Ας ξεκινήσουμε από την (ισοσκελή) υπερβολή $\displaystyle{xy=a}$ και ας στρέψουμε τους άξονες κατά γωνία $\displaystyle{\phi =\frac{\pi}{4}.}$

Αποδεικνύεται, ότι αν ένα σημείο $\displaystyle{M}$ έχει συντεταγμένες $\displaystyle{(x,y)}$ ως προς το αρχικό σύστημα συντεταγμένων, τότε οι συντεταγμένες $\displaystyle{(X,Y)}$ του $\displaystyle{M}$ μετά τη στροφή των αξόνων κατά γωνία $\displaystyle{\phi}$ , ως προς το νέο σύστημα συντεταγμένων δίνονται από τις σχέσεις

$\displaystyle{X=x\cos \phi +y\sin \phi ,}$

$\displaystyle{Y=y\cos \phi -x\sin \phi .}$

Οι σχέσεις αυτές αν λυθούν ως προς $\displaystyle{x,y}$ δίνουν

$\displaystyle{x=X\cos \phi -Y\sin \phi ,}$

$\displaystyle{y=X\sin \phi +Y\cos \phi .}$

Στην περίπτωσή μας, που είναι $\displaystyle{\phi =\frac{\pi}{4}}$ , οι παραπάνω τύποι δίνουν

$\displaystyle{x=\frac{\sqrt{2}}{2}(X-Y),}$

$\displaystyle{y=\frac{\sqrt{2}}{2}(X+Y),}$

οπότε με αντικατάσταση στην $\displaystyle{xy=a}$ βρίσκουμε την εξίσωση

$\displaystyle{X^2-Y^2=2a.}$

Ελπίζω να βοήθησα.

Eukleidis · #3

Ευχαριστώ

#4

Και πιο γενικά μπορούμε να πούμε πως από την εξίσωση της τυχαίας υπερβολής:
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ (1)$
μπορούμε να οδηγηθούμε στην εξίσωση:
$\displaystyle XY=\frac{1}{4}c^2,\ \ c^2=a^2+b^2\ \ (2)$
αν αναφερθούμε στο σύστημα αναφοράς που ορίζεται από τις δύο ασύμπτωτες της υπερβολής.
Στο σχήμα η εξίσωση (1) αναφέρεται στο ορθοκανονικό σύστημα (το γνωστό στο σχολικό πρόγραμμα)
ενώ η εξίσωση (2) αναφέρεται στο πλαγιογώνιο σύστημα(δε διδάσκεται στο σχολείο) που έχει δημιουργηθεί με τη στροφή του άξονα των
τετμημένων αριστερόστροφα κατά γωνία ω και με τη στροφή του άξονα των τεταγμένων αριστερόστροφα κατά γωνία ίση με τη
θ που είναι συμπληρωματική της ω.

Υπερβολή

Υπερβολή

Re: Υπερβολή

Re: Υπερβολή

Re: Υπερβολή

Μέλη σε σύνδεση