ΑΝΑΚΛΑΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΒΟ

#1

Μια φωτεινή ακτίνα εισέρχεται από την κορυφή Α στο εσωτερικό κύβου ΑΒCDEFGH και αρχίζει να ανακλάται στις έδρες(θεωρήστε κατακόρυφη ακμή την DE και τα ABCD,EFGH οριζόντια επίπεδα). Μπορεί να εξέλθει μόνο από κάποια κορυφή ή από κάποια ακμή. Αν η πλευρά του κύβου έχει μήκος d_0 τότε
1. Να βρεθεί η συνθήκη ώστε η ακτίνα να εξέλθει του κύβου
2. Να υποδειχθεί μέθοδος (με την βοήθεια προγραμμάτων του Mathematica αν χρειαστεί) η οποία να προσδιορίζει την κορυφή εξόδου
Θεωρείστε γνωστό ότι η γωνία προσπτώσεως ισούται με την γωνία ανακλάσεως και η τροχιά της ακτίνας είναι επίπεδη στο επίπεδο που ορίζεται από την προσπίπτουσα και την κάθετο στην έδρα στο σημείο πρόσπτωσης
Η εργασία αυτή αποτελεί συνέχεια των ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ γι' αυτό αν χρειαστεί κάτι από εκεί να το θεωρήσετε γνωστό

dement · #2

Εστω οτι η φωτεινη ακτινα, κατα την εισοδο της, χτυπαει ενα απο τα τρια πιθανα 'απεναντι' τοιχωματα σε σημειο με συντεταγμενες (επανω στο επιπεδο του τοιχωματος) (x,y)

(παιρνοντας ως αρχη των αξονων το σημειο του τοιχωματος πιο κοντα στην κορυφη εισοδου). Τοτε, για να εξελθει η ακτινα, πρεπει και αρκει να ισχυουν οι συνθηκες $\displaystyle \frac{x}{d_0}, \frac{y}{d_0} \in \mathbb{Q}$ .

Εστω $\displaystyle \frac{x}{d_0} = \frac{k}{m}$ και $\displaystyle \frac{y}{d_0} = \frac{l}{m}$ με k,l,m

θετικους ακεραιους και GCD(k, l, m) = 1

. Τοτε το σημειο $(k \mod 2, l \mod 2, m \mod 2) d_0$ μας δινει την κορυφη εξοδου. Η αρχη των αξονων ειναι η κορυφη εισοδου. Η πρωτη συντεταγμενη αναφερεται στην ακμη της συντεταγμενης

(βλ. πρωτη παραγραφο), η δευτερη της

και η τριτη στην ακμη που συνδεει το τοιχωμα 'προσκρουσης' με το απεναντι.

Παρατηρουμε οτι, οπως και στην προηγουμενη περιπτωση, η ακτινα δε θα εξελθει ποτε απο την κορυφη εισοδου.

Δημητρης Σκουτερης

#3

Μια πληρέστερη λύση και διερεύνηση ..

#4

Υπάρχουν δύο εντυπωσιακά φαινόμενα εδώ (αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος)

1ον) αν $x_{1} , x_{2}\neq 0$ τότε οι κορυφές Α, Β και Δ δεν μπορούν να είναι κορυφές εξόδου.
2ον) είναι δυνατόν, ακόμη και με ρητά πηλίκα των $\frac{x_{i}}{d_{0}}$ με i = 1 , 2 να μην έχουμε έξοδο της ακτίνας!!

#5

Και η δικιά μου λύση στο συνημμένο
Χρησιμοποιώ προγράμματα του mathematica

ΑΝΑΚΛΑΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΒΟ

ΑΝΑΚΛΑΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΒΟ

Re: ΑΝΑΚΛΑΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΒΟ

Re: ΑΝΑΚΛΑΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΒΟ

Re: ΑΝΑΚΛΑΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΒΟ

Re: ΑΝΑΚΛΑΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΒΟ

Μέλη σε σύνδεση