Παραλληλόγραμμα στο χώρο

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνονται στο χώρο τα παραλληλόγραμμα ABCD,A{'}B{'}C{'}D{'}

με κέντρα

αντίστοιχα.

Αν K,L,M,N

είναι τα μέσα των AA{'},BB{'},CC{'},DD{'}

αντίστοιχα, να δείξετε ότι:

α) το KLMN

είναι παραλληλόγραμμο
β) $\vec{AA{'}}+\vec{BB{'}}+\vec{CC{'}}+\vec{DD{'}}=4\vec{OO{'}}$
γ) το κέντρο του KLMN

είναι το μέσο του OO{'}

.

Ιστοσελίδα · #2

Τα παραλληλόγραμμα υποθέτουμε ότι είναι σε επίπεδα παράλληλα όπως στο σχήμα ή αυτό αποτελεί απλά ειδική περίπτωση της άσκησης;

Γιώργος Απόκης · #3

polysot έγραψε:Τα παραλληλόγραμμα υποθέτουμε ότι είναι σε επίπεδα παράλληλα όπως στο σχήμα ή αυτό αποτελεί απλά ειδική περίπτωση της άσκησης;

Καλημέρα Σωτήρη. Τα παραλληλόγραμμα δεν είναι σε παράλληλα επίπεδα, ούτε είναι ίσα, στο σχήμα φαίνονται έτσι...

#4

$\bullet$ Θεωρούμε το ( στρεβλό ) τετράπλευρο AA'C'C

και σύμφωνα με το Θεώρημα των ίσων λόγων σε τετράπλευρο ( βλέπε και Εδώ, δύο στοιχειώδεις αποδείξεις αυτού του θεωρήματος ), έχουμε ότι τα σημεία $O,\ T,\ O'$ είναι συνευθειακά, όπου

είναι το μέσον του

και ισχύει $TO = TO'\ \ \ ,(1)$

Ομοίως, στο ( στρεβλό ) τετράπλευρο BB'D'D

έχουμε ότι τα σημεία $O,\ T',\ O'$ είναι συνευθειακά, όπου

είναι το μέσον του

και ισχύει $T'O = T'O'\ \ \ ,(2)$

Από $(1),\ (2)$ $\Longrightarrow$ $T'\equiv T$ και άρα, το τετράπλευρο KLMN

είναι παραλληλόγραμμο, γιατί οι διαγώνιές του $KM,\ LN$ αλληλοδιχοτομούνται και τα (α) και (γ) ζητούμενα έχουν αποδειχθεί.

: Παραλληλόγραμμα στον χώρο.; f=62_t=18358.PNG (21.45 KiB) Προβλήθηκε 799 φορές

$\bullet$ Στο ( στρεβλό ) τετράπλευρο AA'C'C

, σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε ότι $\vec{AA'} + \vec{CC'} = 2\vec{OO'}\ \ \ ,(3)$

Ομοίως, στο ( στρεβλό ) τετράπλευρο BB'D'D

έχουμε $\vec{BB'} + \vec{DD'} = 2\vec{OO'}\ \ \ ,(4)$

Από $(3),\ (4)$ $\Longrightarrow$ $\vec{AA'} + \vec{BB'} + \vec{CC'} + \vec{DD'} = 4\vec{OO'}\ \ \ ,(5)$ και το (β) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται το στρεβλό τετράπλευρο και έστω $M,\ N,$ τα μέσα των πλευρών του $AB,\ CD,$ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι $\vec{AD} + \vec{BC} = 2\vec{MN}$ .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. θα επανέλθω αργότερα με τα σχήματα και την απόδειξη του Λήμματος.

#5

vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται το στρεβλό τετράπλευρο και έστω $M,\ N,$ τα μέσα των πλευρών του $AB,\ CD,$ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι $\vec{AD} + \vec{BC} = 2\vec{MN}$ .

: Παραλληλόγραμμα στον χώρο - Απόδειξη του Λήμματος.; f=62_t=18358(a).PNG (12.01 KiB) Προβλήθηκε 766 φορές

Έστω $E,\ Z,$ τα σημεία του χώρου ώστε τα τετράπλευρα $BCEM,\ ADZM$ να είναι παραλληλόγραμμα.

Από $DZ\parallel = AM = MB\parallel = EC$ $\Longrightarrow$ $DZ\parallel = EC$ και άρα, το τετράπλευρο DECZ

είναι παραλληλόγραμμο.

Έτσι, τα σημεία $E,\ N,\ Z$ είναι συνευθειακά και ισχύει EN = NZ.

Στο τρίγωνο $\vartriangle MEZ$ , λόγω της διαμέσου AN,

(*) ισχύει $\vec{ME} + \vec{MZ} = 2\vec{MN}\ \ \ ,(1)$

Άρα, $\vec{AD} + \vec{BC} = \vec{MZ} + \vec{ME} = 2\vec{MN}$ και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

(*) Εάν

είναι το συμμετρικό σημείο του

ως προς το

τότε έχουμε $\vec{ME} + \vec{MZ} = \vec{MZ} + \vec{ZF} = \vec{MF} = 2\vec{MN}$ , λόγω $ZF\parallel = ME.$

Γιώργος Απόκης · #6

Ευχαριστώ για την ενασχόληση και τη λύση (ειδικά μετά από τόσο καιρό!)

#7

Γιώργο, πράγματι είναι πολύς καιρός, αλλά είπα να μειώσω κατά μία έστω, τις άλυτες ασκήσεις από το πίνακα του parmenides51.

Κώστας Βήττας.

Παραλληλόγραμμα στο χώρο

Παραλληλόγραμμα στο χώρο

Re: Παραλληλόγραμμα στο χώρο

Re: Παραλληλόγραμμα στο χώρο

Re: Παραλληλόγραμμα στο χώρο

Re: Παραλληλόγραμμα στο χώρο

Re: Παραλληλόγραμμα στο χώρο

Re: Παραλληλόγραμμα στο χώρο

Μέλη σε σύνδεση