Επειδή οι περισσότεροι από τα μέλη του
δεν το έχουν, θα παραθέσω τα βασικώτερα σημεία του άρθρου , (σε ελεύθερη απόδοση)1. Η συμμετρική ευθεία της διαμέσου
ενός τριγώνου 
ως προς την διχοτόμο 
του τριγώνου αυτού, ονομάζεται συμμετροδιάμεσος , (εσωτερική). Επομένως σε κάθε τρίγωνο υπάρχουν 
συμμετροδιάμεσοι.2. Η εφαπτομένη σε μια κορυφή του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου
, ονομάζεται και εξωτερική συμμετροδιάμεσος. Σε κάθε τρίγωνο υπάρχουν εξωτερικές συμμετροδιάμεσοι.3. Ο γ.τ των σημείων τα οποία απέχουν από τις πλευρές
και 
του τριγωνου αποστάσεις ανάλογες προς αυτές, είναι η εσωτερική ΄συμμετροδιάμετρος που περνάει από την κορυφή 
και η εξωτερική συμμετροδιάμεσος που επίσης περνάει από το .4. Οι τρεις εσωτερικές συμμετροδιάμεσοι κάθε τριγώνου, διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο απέχει από τις πλευρές του τριγώνου αποστάσεις ανάλογες προς αυτές. Το σημείο αυτό, καλείται : Σημείο του LEMOINE του τριγώνου.
5. Οι δύο εξωτερικές συμμετροδιάμεσοι και η εσωτερική από την τρίτη κορυφή, διέρχονται από το ίδιο σημείο.
6. Ένας τρόπος για να κατασκευάσουμε τις εσωτερικές συμμετροδιαμέσους και το σημείο LEMOINE ενός τριγώνου
, είναι ο ακόλουθος: Γράφουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου και φέρνουμε τις εφαπτόμενες στις κορυφές 
, οι οποίες τέμνονται στα σημεία 
. Ενώνοντας καθένα από τα σημεία αυτά με την απέναντι κορυφή του τριγώνου , έχουμε τις τρεις συμμετροδιαμέσους του τριγώνου και το σημείο τομής αυτών, είναι το σημείο LEMOINE7. Θεωρούμε ένα τρίγωνο
. Έστω ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος αυτού εφάπτεται στις πλευρές 
στα σημεία 
αντιστοίχως. Τότε οι ευθείες 
διέρχονται από το ίδιο σημείο (όπως είδαμε στο (6)), το οποίο ονομάζεται σημείο GERGONE του τριγώνου (το οποίο βέβαια είναι και το σημείο LEMOINE του τριγώνου .8. Aν
είναι η τομή του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με την συμμετροδιάμεσο που διέρχεται από την κορυφή , τότε το βρίσκεται πάνω στον Απολλώνιο κύκλο του τριγώνου προς τις κορυφές 
και 
.(ΣΗΜ: Η εφαπτομένη από την κορυφή
του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου , τέμνει την πλευρά 
στο κέντρο του Απολλώνιου κύκλου.)9. Οι ευθείες που ενώνουν τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου με τα μέσα των υψών προς αυτές, διέρχονται από το σημείο LEMOINE του τριγώνου.
10. Σε ορθογώνιο τρίγωνο, το ύψος προς την υποτείνουσα είναι συμμετροδιάμεσος και το μέσον του είναι το σημείο LEMOINE του τριγώνου.
11. Ο γ.τ των σημείων του LEMOINE των ορθογωνίων τριγώνων με την ίδια υποτείνουσα, είναι μια έλλειψη με μεγάλο άξονα την υποτείνουσα και μικρό άξονα το μισό της υποτείνουσας.
12. Τα εμβαδά των τριγώνων που έχουν κοινή κορυφή το σημείο LEMOINE και βάσεις τις πλευρές του τριγώνου είναι ανάλογα προς τα τετράγωνα των πλευρών αυτών.
13. Κάθε συμμετροδιάμεσος (εσωτερική) διαιρεί την απέναντι πλευρά σε τμήματα ανάλογα προς τα τετράγωνα των προσκείμενων πλευρών προς τα τμήματα αυτά.
14. Η εξωτερική συμμετροδιάμεσος τέμνει την απέναντι πλευρά σε σημείο του οποίου οι αποστάσεις από τα άκρα της πλευράς αυτής είναι ανάλογες προς τα τετράγωνα των πλευρών που καταλήγουν στα άκρα αυτά.
15. Τα ίχνη της εσωτερικής και εξωτερικής συμμετροδιαμέσου από την ίδια κορυφή στην απέναντι πλευρά, είναι συζυγή αρμονικά των άκρων της πλευράς αυτής.
16. Κάθε εσωτερική συμμετροδιάμεσος, τέμνεται αρμονικά από την εσωτερική και την εξωτερική συμμετροδιάμεσο που φέρνονται από κάθε μια άλλη κορυφή.
17. Αν
είναι οι αποστάσεις του σημείου LEMOINE 
από τις πλευρές του τριγώνου τότε:
και ομοίως για τα 
18. Το σημείο
του LEMOINE είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου που έχει κορυφές τις προβολές του πάνω στις πλευρες του τριγώνου.19. Έστω
οι προβολές του σημείου του LEMOINE τριγώνου πάνω στις πλευρές του. Τότε το εμβαδόν του τριγώνου
είναι:
20. Αν από το σημείο LEMOINE φέρουμε παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου, τότε τα έξι σημεία τομής των παραλλήλων αυτών με τις πλευρές του τριγώνου είναι ομοκυκλικά σημεία (ΠΡΩΤΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ΤΟΥ ΛΕΜΟΙΝΕ)
21. Το σημείο
του LEMOINE ενός τριγώνου, είναι το σημείο του οποίου το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων από τις πλευρές του τριγώνου είναι ελάχιστο.22. Από όλα τα εγγεγραμμένα τρίγωνα σε ένα τρίγωνο
το τρίγωνο που έχει κορυφές τις προβολές του σημείου LEMOINE του στις πλευρές του , είναι εκείνο που έχει ελάχιστο το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών του.23. Το σημείο LEMOINE διαιρεί κάθε συμμετροδιάμεσο σε δύο μέρη, από τα οποία το μέρος προς την κορυφή έχει λόγο προς το μέρος προς την βάση, ίσο με τον λόγο του αθροίσματος των τετραγώνων των περιεχουσών πλευρών προς το τετράγωνο της βάσης.
24. Αν
το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και το σημείο LEMOINE τριγώνου , τότε η ευθεία 
είναι κάθετη στην ευθεία 
που βρίσκονται τα κέντρα των τριών Απολλώνιων κύκλων του τριγώνου (η ευθεία λέγεται ευθεία LEMOINE)25. Η κοινή χορδή των τριών Απολλώνιων κύκλων κάθε τριγώνου, περνάει από το σημείο LEMOINE του τριγώνου αυτού.
26. Τα σημεία BROCARD ενός τριγώνου, βρίσκονται σε κύκλο, η οποία έχει΄διάμετρο την ευθεία
, που ενώνει το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου με το σημείο LEMOINE του τριγώνου. (ΚΥΚΛΟΣ ΤΟΥ BROCARD)Για τις παραπάνω προτάσεις, υπάρχουν και σύντωμες αποδείξεις από τον συγκραφέα του άρθρου.
