Σχέση ακτίνων

[erxmer]

Σε δεδομένο τρίγωνο φέρνουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο και τον εγγεγραμμενο . Aν ονομάσουμε την απόσταση μεταξύ των κέντρων των κύκλων αυτών δείξτε οτι . Ισχύει το αντίστροφό;

[matha]

Σε δεδομένο τρίγωνο φέρνουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο και τον εγγεγραμμενο . Aν ονομάσουμε την απόσταση μεταξύ των κέντρων των κύκλων αυτών δείξτε οτι .

Πρόκειται για το χιλιοσυζητημένο θεώρημα Euler. Σίγουρα έχει αποδειχθεί και εδώ, στο

Αποδείξεις υπάρχουν πολλές. Μια εξ αυτών μπορεί να δει κανείς εδώ.

... Ισχύει το αντίστροφό;

Έτσι διατυπωμένο το πρόβλημα, δεν έχει αντίστροφο. Οπότε δεν έχει νόημα να εξετάσουμε την ισχύ του.

Υποθέτω, υπονοείται το εξής:

Δίνονται δύο κύκλοι με Υπάρχει τρίγωνο εγγεγραμμένο στον έναν και περιγεγραμμένο στον άλλο;

[chris_gatos]

Πρόκειται για το χιλιοσυζητημένο θεώρημα Euler. Σίγουρα έχει αποδειχθεί και εδώ, στο

Αποδείξεις υπάρχουν πολλές. Μια εξ αυτών μπορεί να δει κανείς εδώ.

Είχε γίνει κουβέντα κι --->εδώ.

[erxmer]

Δίνονται δύο κύκλοι με Υπάρχει τρίγωνο εγγεγραμμένο στον έναν και περιγεγραμμένο στον άλλο;

Ακριβώς αυτό είναι το αντίστροφο πρόβλημα.

[S.E.Louridas]

Δίνονται δύο κύκλοι με Υπάρχει τρίγωνο εγγεγραμμένο στον έναν και περιγεγραμμένο στον άλλο;

Ακριβώς αυτό είναι το αντίστροφο πρόβλημα.

Η απάντηση γιά το αντίστροφο, όπως διαμορφώθηκε είναι: Ναι υπάρχουν άπειρα τέτοια τρίγωνα.
Προφανώς (από την σχέση: ) ο Μεγάλος κύκλος είναι ο κύκλος και ο μικρός κύκλος είναι ο κύκλος , οπότε πρόκειται για τρίγωνα εγγεγραμμένα στον κύκλο και περιγεγραμμένα στον κύκλο .

[S.E.Louridas]

Δίνονται δύο κύκλοι με
Υπάρχει τρίγωνο εγγεγραμμένο στον έναν και περιγεγραμμένο στον άλλο;

Ακριβώς αυτό είναι το αντίστροφο πρόβλημα.

Ας μου επιτραπεί να επαναφέρω προτείνοντας το παραπάνω αντίστροφο όπως διαμορφώθηκε,
επειδή θεωρώ ότι έχει ξεχωριστό ενδιαφέρον, λίγο πριν ανεβάσω την ημέτερη διαπραγμάτευση για το θέμα αυτό.

[S.E.Louridas]

Μια που μάλλον δεν "κίνησε" το ενδιαφέρον να ασχοληθούμε με το αντίστροφο που άν δεν κάνω λάθος μπαίνει (από τους erxmer και Θάνο) σαν πρόβλημα για πρώτη φορά εδώ στην Μαθηματική οικογένεια μας, ας δούμε την ημέτερη διαπραγμάτευση:

Δίνονται δύο κύκλοι με
Υπάρχει τρίγωνο εγγεγραμμένο στον έναν και περιγεγραμμένο στον άλλο;

Ακριβώς αυτό είναι το αντίστροφο πρόβλημα.

Από την σχέση ,
που έχουμε σαν δεδομένο του προβλήματος του αντιστρόφου παίρνουμε:

.
Άρα ο κύκλος είναι εντός του κύκλου .
Για τυχόν σημείο του κύκλου η μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος τέμνει τον κύκλο στο σημείο .
Ο κύκλος τέμνει τον κύκλο στο σημείο .
Αν , είναι καθαρό ότι ένα τέτοιο τρίγωνο είναι το .
Το συμπέρασμα * είναι:
Άπειρα τα σημεία που παίρνουμε, άρα άπειρα και τα αντίστοιχα τρίγωνα που θα προκείπτουν.

(*) Είναι Κατασκευαστικό Γεωμετρικό συμπέρασμα.

[S.E.Louridas]

Θα ήθελα να συμπληρώσω διευκρινίζοντας ότι το σημείο είναι το έκκεντρο του τριγώνου σύμφωνα με τον τρόπο που κατασκευάστηκε αυτό και βέβαια υπάρχει πάντοτε (έχουμε , που είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη), αφού το ευθύγραμμο τμήμα βρίσκεται εντός του κύκλου με τα άκρα του να μήν είναι σημεία της περιφέρειας του κύκλου, άρα η μεσοκάθετος του να τέμνει πάντα την περιφέρεια του κύκλου σε δύο μάλιστα σημεία (εδώ δουλέψαμε στο ένα σημείο δηλαδή το σημείο ).
Αν τώρα ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου που έχει κέντρο το σημείο , έχει ακτίνα τότε η ευθεία σχέση του Euler δίνει:

.

[gbaloglou]

Μία ενδιαφέρουσα συνέπεια: αν από οποιοδήποτε σημείο κύκλου στον οποίο είναι εγγεγραμμένο τρίγωνο φέρουμε τις εφαπτόμενες , στον εγγεγραμμένο κύκλο του , με , επί του , τότε η εφάπτεται του .

Γιώργος Μπαλόγλου