Όγκος πυραμίδας

#1

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο OAB

, πλευράς

, έχει την κορυφή του

πάνω σε ένα επίπεδο (P)

και τις δύο άλλες κορυφές του προς το ίδιο μέρος του (P)

και προβάλλεται στο $\displaystyle{(P)}$ κατά ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{OKM}$ , με υποτείνουσα $\displaystyle{KM=b}$ . Να υπολογίσετε τον όγκο της πυραμίδας $\displaystyle{OABKM}$ , συναρτήσει των $\displaystyle{a , b}$ .

S.E.Louridas · #2

Καλημέρα Δημήτρη.
Επίτρεψε μου να επαναφέρω το όμορφο αυτό θέμα πρίν την παρουσίαση της επίλυσης του, ώστε να ασχοληθούν και άλλοι λύτες.
Κατά την άποψη μου παρουσιάζει πολλαπλό ενδιαφέρον.

S.E.Louridas · #3

Επειδή πιστεύω βαθύτατα, ότι πέρα από την σκοπιμότητα που στις μέρες μας κινείται με φρενήρεις ρυθμούς, σημασία έχει να μην «φύγει» σιγά-σιγά το είδος των Μαθηματικών εκείνων που δεν ενδιαφέροντα μόνο για τις εφαρμογές των Μαθηματικών, αλλά και για τα ίδια τα Μαθηματικά και την εξέλιξη τους. Αυτοί οι Μαθηματικοί χρειάζονται και συνεχή «προπόνηση» για να «διατηρούνται σε φόρμα» και να χαίρονται την ενασχόληση τους με τα Μαθηματικά. Η Γεωμετρία με την Βασίλισσα Θεωρία Αριθμών είναι οι ακρογωνιαίοι λίθοι και πρός αυτή τη κατεύθυνση, Ναι είναι.
Στην Γεωμετρία συνεργάζονται αρμονικότατα, η Λογική, η Διαίσθηση, η Φαντασία (κυρίως στην Στερεομετρία), οι αισθήσεις και το συναίσθημα.
Στέκομαι στην Φαντασία. Να φαντάζεσαι σαν να βλέπεις και πάνω εκεί να δημιουργείς και να δουλεύεις και μετά επανερχόμενος να διαπιστώσεις ότι έχεις παράξει.
Δεν είναι απαραίτητο και ουσιαστικό συστατικό σε Επιστημονικό περιβάλλον;
Για τούτο θεωρώ ότι οι «σοφοί» που καταρτίζουν προγράμματα ΠΡΕΠΕΙ να βάλουν τάχιστα στα προγράμματα των Μαθηματικών αυτά τα πράγματα, ώστε να μειωθούν οι πιθανότητες να παράξουμε Επιστήμονες χωρίς φαντασία, χωρίς λογική που αν τους πάρεις το Laptop να παθαίνουν κρίση πανικού και να αποσυντονίζονται.
Ας πάμε λοιπόν στην Διαπραγμάτευση της όμορφης Άσκησης που εισηγήθηκε ο Δημήτρης με σχήμα επί τω πίνακι (δυστυχώς δεν έχω την δυνατότητα συναδέλφων όπως ο Κώστας Δόρτσιος για σχήματα που να μιλάνε)

● $\displaystale{DT^2 = \frac{{3a^2 - d^2 }} {4} \Rightarrow DT = \frac{{\sqrt {3a^2 - d^2 } }} {2} \Rightarrow \left( {ABEK} \right) = \frac{{d\sqrt {3a^2 - d^2 } }} {2}\quad \left( * \right).}$
Παρατηρούμε με βάση το τραπέζιο ABEK

, θεωρώντας $AK \leqslant BE$ , ότι:

$\displaystale{AK + BE = \sqrt {3a^2 - d^2 } ,\quad BE - AK = \sqrt {a^2 - d^2 } \Rightarrow}$

$\displaystale{BE = \frac{{\sqrt {3a^2 - d^2 } + \sqrt {a^2 - d^2 } }} {2},\;\;AK = \frac{{\sqrt {3a^2 - d^2 } - \sqrt {a^2 - d^2 } }} {2}}$ .
Συνεπώς υπολογίζουμε τα OK, OE

από τους τύπους

$\displaystale{OK^2 = a^2 - \frac{{\left( {\sqrt {3a^2 - d^2 } - \sqrt {a^2 - d^2 } } \right)^2 }} {4},\;\;OE^2 = a^2 - \frac{{\left( {\sqrt {3a^2 - d^2 } + \sqrt {a^2 - d^2 } } \right)^2 }} {4},}$
Δηλαδή υπολογίζουμε το ύψος του ορθογωνίου τριγώνου OEK

που άγεται από την κορυφή της ορθής γωνίας

που είναι και ύψος της πυραμίδας μας (από την καθετότητα των επιπέδων (AKEB), (OEK)

. Αυτό σημαίνει ότι σε συνδυασμό με την σχέση (*), υπολογίζουμε τον όγκο της.

Όγκος πυραμίδας

Όγκος πυραμίδας

Re: Όγκος πυραμίδας

Re: Όγκος πυραμίδας

Μέλη σε σύνδεση