Από τις γωνίες και το μέτρο στην απόσταση

#1

Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

από το επίπεδο που σχηματίζουν οι ευθείες

,

y ... αν $\angle (Ox, OP)=\theta$ , $\angle (Oy, OP)=\phi$ , $\angle (Ox, Oy)=\gamma$ , και |OP|=a

.

Γιώργος Μπαλόγλου

S.E.Louridas · #2

Γιώργο είναι μία μεσημερ(γ)ιανή άποψη (με την ελπίδα η πιθανότητα λαθών στις πράξεις να είναι 0)

$k = a\cos \theta ,\;\;m = a\cos \varphi$ , όταν OP=a

.
Αν έχουμε $\theta ,\varphi ,\gamma \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right]$ παίρνουμε ότι:

$P_1 P_2 = \sqrt {k^2 + m^2 - 2km\cos \gamma } \Rightarrow P_1 P_2 = a\sqrt {\cos ^2 \theta + \cos ^2 \varphi - 2\cos \theta \cos \varphi \cos \gamma } \Rightarrow$

$\displaystale{OT = \frac{{P_1 P_2 }} {{\sin \gamma }} = \frac{{a\sqrt {\cos ^2 \theta + \cos ^2 \varphi - 2\cos \theta \cos \varphi \cos \gamma } }} {{\sin \gamma }}\, \Rightarrow}$

$\displaystale{PT^2 = a^2 - \frac{{a^2 \left( {\cos ^2 \theta + \cos ^2 \varphi - 2\cos \theta \cos \varphi \cos \gamma } \right)}} {{\sin ^2 \gamma }} \Rightarrow}$

$\displaystale{PT = \frac{{a\sqrt {\sin ^2 \gamma - \cos ^2 \theta - \cos ^2 \varphi + 2\cos \theta \cos \varphi \cos \gamma } }} {{\sin \gamma }}.}$
Προφανώς το ευθύγραμμο τμήμα

είναι διάμετρος του κύκλου (OP_2TP_1)

ακτίνας έστω

.

Στην περίπτωση που έχουμε

$\displaystale{\left( {\theta \in \left( {\frac{\pi } {2},\pi } \right]} \right) \vee \left( {\varphi \in \left( {\frac{\pi } {2},\pi } \right]} \right) \vee \left( {\gamma \in \left( {\frac{\pi } {2},\pi } \right]} \right)\;,}$

εκ των πραγμάτων και λόγω των καθετοτήτων πάμε στην φάση
$t \in \left( {\frac{\pi } {2},\pi } \right] \Rightarrow \cos \left( {\pi - t} \right) = - \cos t \geqslant 0.$

Τελικά ισχύει ο τύπος

$\displaystale{PT = \frac{{a\sqrt {\sin ^2 \gamma - \cos ^2 \theta - \cos ^2 \varphi + 2\ {\cos \theta \cos \varphi \cos \gamma }} }} {{ {\sin \gamma } }}.}$

(*) Αν a=0

τότε η ζητούμενη απόσταση είναι προφανώς και αυτή

.

(**) Αν θεωρήσουμε $\gamma \in \left\{ {0,\pi } \right\}$ τότε παίρνουμε Αοριστία του τύπου $PT \to \frac{0}{0},$ πράγμα «φυσιολογικό» καθότι στην περίπτωση αυτή το σημείο

κινείται σε κύκλο κάθετο στην

και στην

δηλαδή έχουμε άπειρες λύσεις.

(***) Επί της ουσίας το υπέροχο αυτό θέμα είναι εφαρμογή του θεωρήματος των τριών καθέτων, αλλά και της παρατήρησης
της εγγραψιμμότητας του τετραπλεύρου OP_2TP_1

, για να προσδιορίσουμε από αυτή την εγγραψιμμότητα τη σχέση μεταξύ της χορδής P_1P_2

που είναι απέναντι από την γωνία $\gamma$ και της διαμέτρου

.

edit: Εξαγωγή του απολύτου που "τρύπωσε" χωρίς λόγο.

#3

Σωτήρη έξοχη προσέγγιση (με συνδυασμό Επιπεδομετρίας και Στερεομετρίας), αλλά οι απόλυτες τιμές στον τύπο σου δεν χρειάζονται: προφανώς όχι στον παρονομαστή, όχι και τόσο προφανώς στον αριθμητή! Το γιατί ακριβώς δεν χρειάζεται η απόλυτη τιμή στο υπόρριζο δεν το έχω διαλευκάνει, καταλαβαίνω γιατί οι περιπτώσεις $\theta > 90^0$ ή $\phi > 90^0$ χρειάζονται ιδιαίτερη προσοχή, αλλά ... τελικά η απόλυτη τιμή δεν χρειάζεται: αυτό φαίνεται και από ένα απλό αντιπαράδειγμα (

στο επίπεδο των

,

με $\gamma = 60^0$ , $\theta = 60^0$ , $\phi = 120^0$ , οπότε ο σωστός τύπος πρέπει να δίνει

) αλλά και από την παρακάτω εναλλακτική, λιγότερο στοιχειώδη, προσέγγιση.

Λύση με διανύσματα:

Ταυτίζουμε την

με τον άξονα των

, οπότε τα διανύσματα διεύθυνσης των

,

είναι τα

και $<cos\gamma , sin\gamma , 0>$ , αντίστοιχα. Αν το διάνυσμα θέσης του

είναι

, τότε θέλουμε να ισχύουν οι ισότητες

x^2+y^2+z^2=a^2

$\displaystyle\frac{1\cdot x+0\cdot y+0\cdot z}{(\sqrt{1^2+0^2+0^2})(\sqrt{x^2+y^2+z^2})}=cos\theta \Leftrightarrow x=acos\theta$

$\displaystyle\frac{cos\gamma \cdot x+sin\gamma \cdot y+ 0\cdot 0}{(\sqrt{cos^2\gamma +sin^2\gamma +0^2})(\sqrt{x^2+y^2+z^2})}=cos\phi \Leftrightarrow (cos\gamma )x+(sin\gamma )y=acos\phi$

Η εύρεση του ζητούμενου

(απόστασης του

από το επίπεδο Oxy

) είναι πλέον πολύ εύκολη, και οδηγεί στον τύπο του Σωτήρη (χωρίς τις απόλυτες τιμές όπως τονίσθηκε παραπάνω):

$z=a\displaystyle\frac{\sqrt{sin^2\gamma -cos^2\theta -cos^2\phi +2cos\gamma cos\theta cos\phi }}{sin\gamma }$

Γιώργος Μπαλόγλου

S.E.Louridas · #4

Γιώργο έβγαλα ήδη το σύμβολο του απολύτου.
Όπως ορθά κατάλαβες η προσπάθεια μου αφορούσε την κατά το δυνατό με στοιχειώδη μέσα επίλυση η οποία επετεύχθηκε κύρια σαν εφαρμογή του θεωρήματος των τριών καθέτων σε συνδυασμό με την αναφερθείσα εγγραψιμότητα.

S.E.Louridas · #5

Γιώργο θεωρώ ότι το σχήμα που ακολουθεί αποδεικνύει το γιατί Δεν χρειάζεται το απόλυτο στο γινόμενο κάτω από το υπόρριζο.
Κατασκευαστικά έχουμε την καθετότητα της PP_1

πάνω στην

και όχι κατ’ ανάγκη στο επίπεδο ( η κάθετη στο επίπεδο είναι η

) με
$\theta \in \left( {0,\frac{\pi } {2}} \right),\;\;\varphi \in \left( {\frac{\pi } {2},\pi } \right)$ .
Θα μπορούσαμε επίσης να είχαμε
$\;\varphi \in \left( {0,\frac{\pi } {2}} \right),\;\theta \in \left( {\frac{\pi } {2},\pi } \right),$ ή $\;\varphi \in \left( {0,\frac{\pi } {2}} \right),\;\theta \in \left( {0,\frac{\pi } {2}} \right),$ ή $\;\varphi \in \left( {\frac{\pi } {2},\pi } \right),\;\theta \in \left( {\frac{\pi } {2},\pi } \right).$

(*) Επαναλαμβάνουμε ότι: $\angle xOP = \theta ,\quad \angle yOP = \varphi ,\quad \angle yOx = \gamma .$
Επίσης να αναφέρουμε ότι ο κύκλος

είναι η γραμμή στην οποία κινείται το σημείο

και που ο κύκλος αυτός ανήκει σε επίπεδο κάθετο στην ευθεία

και στο σημείο T_1

, όταν το ευθ. τμήμα OT=a

διατηρεί το μήκος του, αλλά και την γωνία $\theta$ που σχηματίζει με την

.

#6

Μία άλλη άποψη (και έποψη) για το γινόμενο $cos\theta cos\phi cos\gamma$ και την μη αναγκαιότητα της απόλυτης τιμής (χωρίς λόγια, με άμεση αναφορά στο πρώτο σχήμα του Σωτήρη):

Γιώργος Μπαλόγλου

S.E.Louridas · #7

Βεβαίως και αν μέτρησα σωστά και θέτοντας O (= οξεία) και A (= αμβλεία), οι περιπτώσεις για την τριάδα των γωνιών (γ, θ, φ) , είναι :
(Ο,Ο,Ο), (Ο,Ο,Α), (Ο,Α,Ο), (Ο,Α,Α) και (Α,Ο,Ο), (Α,Ο,Α), (Α,Α,Ο), (Α,Α,Α). Οπότε ο τύπος $cos(\pi-x)=-cosx$ , βάζει τα πράγματα στην θέση τους.

#8

S.E.Louridas έγραψε:Βεβαίως και αν μέτρησα σωστά και θέτοντας O (= οξεία) και A (= αμβλεία), οι περιπτώσεις για την τριάδα των γωνιών (γ, θ, φ) , είναι :
(Ο,Ο,Ο), (Ο,Ο,Α), (Ο,Α,Ο), (Ο,Α,Α) και (Α,Ο,Ο), (Α,Ο,Α), (Α,Α,Ο), (Α,Α,Α). Οπότε ο τύπος $cos(\pi-x)=-cosx$ , βάζει τα πράγματα στην θέση τους.

Ναι, αν και το αν είναι οξεία ή αμβλεία η γωνία $\gamma$ δεν είναι καίριο -- το όποιο πρόβλημα δημιουργείται από τις άλλες δύο γωνίες.

Γιώργος Μπαλόγλου

S.E.Louridas · #9

Απλά Γιώργο το έβαλα για τις περιπτώσεις ας πούμε: (O,O,O) και (A,O,O) και επειδή κάτω από το υπόρριζο έχουμε γινόμενο τριών cos.
Τελικά το απόλυτο δεν χρειαζόταν.

#10

S.E.Louridas έγραψε:Απλά Γιώργο το έβαλα για τις περιπτώσεις ας πούμε: (O,O,O) και (A,O,O) και επειδή κάτω από το υπόρριζο έχουμε γινόμενο τριών cos.
Τελικά το απόλυτο δεν χρειαζόταν.

Ακριβώς, από τους τρεις παράγοντες μας βγάζουν μείον (

) είτε δύο είτε κανείς, άρα ......

Γιώργος Μπαλόγλου

Από τις γωνίες και το μέτρο στην απόσταση

Από τις γωνίες και το μέτρο στην απόσταση

Re: Από τις γωνίες και το μέτρο στην απόσταση

Re: Από τις γωνίες και το μέτρο στην απόσταση

Re: Από τις γωνίες και το μέτρο στην απόσταση

Re: Από τις γωνίες και το μέτρο στην απόσταση

Re: Από τις γωνίες και το μέτρο στην απόσταση

Re: Από τις γωνίες και το μέτρο στην απόσταση

Re: Από τις γωνίες και το μέτρο στην απόσταση

Re: Από τις γωνίες και το μέτρο στην απόσταση

Re: Από τις γωνίες και το μέτρο στην απόσταση

Μέλη σε σύνδεση