Tετράεδρο

S.E.Louridas · #1

Έστω τετράεδρο A.BCD

.
Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων

του χώρου για τα οποία έχουμε:
$k\cdot V_{M.ABC} + \ell\cdot V_{M.ABD} = a^3 ,\;\;k,\ell \in {\Cal R}_ + ^ *$ δοθέντες θετικοί και

δοθέν ευθύγραμμο τμήμα.

S.E.Louridas · #2

Επαναφορά

#3

: Τετράεδρο 1.PNG (64.03 KiB) Προβλήθηκε 708 φορές

Έστω $\displaystyle{M}$ ένα σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου.(πρώτο σχήμα)

Τότε από τη δοθείσα σχέση προκύπτει:

$\displaystyle k\frac{1}{3}(ME)(ABC)+l\frac{1}{3}(MZ)(ABD)=a^3$

ή ακόμα:

$\displaystyle r(ME)+s(MZ)=t,\ \ (1)$

όπου:

$\displaystyle r=\frac{1}{3}k(ABC),\ \ s=\frac{1}{3}l(ABD),\ \ t=(a^3)$

θετικοί αριθμοί.

Αν θεωρήσω τώρα το επίπεδο που ορίζουν οι δύο κάθετες $\displaystyle{MM_1, MM_2}$ προς τις έδρες $\displaystyle{ABC, ABC}$ αντίστοιχα, τότε αυτό εύκολα

διαπιστώνεται πως είναι κάθετο στην ακμή $\displaystyle{AB}$ . Έτσι το πρόβλημα μεταφέρθηκε στο επίπεδο αυτό. Δηλαδή:

"Ζητούμε το γ.τ. των σημείων του επιπέδου όπου οι αποστάσεις του από τις πλευρές δοθείσης γωνίας $\displaystyle{e_1Oe_2}$ ικανονοποιούν την (1)"

: Τετράεδρο 2.PNG (28.04 KiB) Προβλήθηκε 708 φορές

Έστω λοιπόν $\displaystyle{M(x,y)}$ ένα τέτοιο σημείο.(Δεύτερο σχήμα)

Τότε εύκολα διαπιστώνεται ότι η σχέση (1) μετασχηματίζεται στην:

$\displaystyle (e):ry+s\frac{\left|y-\lambda x \right|}{\sqrt{1+\lambda ^2}}=t$

και επειδή είμαστε εντός της γωνίας, δηλαδή στο αρνητικό ημιεπίπεδο της $\displaystyle{(e_2)}$ τελικά η ευθεία αυτή έχει εξίσωση:

$\displaystyle (e):ry+s\frac{-y+\lambda x}{\sqrt{1+\lambda ^2}}=t\ \ (2)$

Η (2) εκφράζει ευθεία και τα σημεία του τμήματος $\displaystyle{AB}$ αποτελούν τα ζητούμενα.

: Τετράεδρο 3.PNG (151.73 KiB) Προβλήθηκε 708 φορές

Επιστρέφοντας στο χώρο των τριών διαστάσεων (τρίτο σχήμα) βλέπουμε ότι ο ζητούμενος γ.τ. είναι μια

ζώνη σε ένα επίπεδο παράλληλο προς την ακμή $\displaystyle{AB}$ του τετραέδρου, η οποία ορίζεται από

τις παράλληλες προς την ακμή αυτή που άγονται από τα σταθερά σημεία $\displaystyle{E,Z}$ .

Κώστας Δόρτσιος

S.E.Louridas · #4

Κώστα σε ευχαριστώ που για μία ακόμα φορά έδωσες Μαθηματική φωνή σε άσκηση με την Άριστη παρέμβαση σου.
Η πηγή έμνευσης της ευρίσκεται και πάλι σε εσένα:
(viewtopic.php?f=62&t=32782&p=151836#p151836)

Tετράεδρο

Tετράεδρο

Re: Tετράεδρο

Re: Tετράεδρο

Re: Tετράεδρο

Μέλη σε σύνδεση