Τριγωνομετρία με γεωμετρία! (2)

#1

Να αποδείξετε, με γεωμετρικά επιχειρήματα, ότι αν $\displaystyle{\angle A}$ οξεία γωνία, τότε

$\displaystyle{\sin 2A=2\sin A\cos A}$ ,

$\displaystyle{\cos 2A=\cos ^2 A-\sin ^2A.}$

#2

Θάνο, καλησπέρα. ΠΟΛΥ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝ!

Ας ξεκινήσω:

: 01-12-2012 Γεωμετρία e.jpg (17.79 KiB) Προβλήθηκε 1185 φορές

Είναι

$\displaystyle \eta \mu \omega = \frac{{DC}}{{AC}},\;\;\sigma \upsilon \nu \omega = \frac{{DC}}{{BC}},\;\;\eta \mu 2\omega = \frac{{DC}}{{{\rm O}C}} = \frac{{DC}}{1} = DC,\;\;\\ \\AC \cdot BC = AB \cdot DC$

Οπότε $\displaystyle 2\eta \mu \omega \cdot \sigma \upsilon \nu \omega = 2\frac{{DC^2 }}{{AC \cdot BC}} = 2\frac{{DC^2 }}{{AB \cdot DC}} = DC = \eta \mu 2\omega$

Επίσης:

$\displaystyle \sigma \upsilon \nu ^2 \omega - \eta \mu ^2 \omega = \frac{{DC^2 }}{{BC^2 }} - \frac{{DC^2 }}{{AC^2 }} = \frac{{AC^2 \cdot DC^2 - BC^2 \cdot DC^2 }}{{AC^2 \cdot BC^2 }} =$

$\displaystyle = \frac{{\left( {AC^2 - BC^2 } \right) \cdot DC^2 }}{{AB^2 \cdot DC^2 }} = \frac{{AD \cdot AB - BD \cdot AB}}{{AB^2 }} = \frac{{AD - BD}}{{AB}} =$

$\displaystyle = \frac{{1 + OD - \left( {1 - OD} \right)}}{2} = OD = \sigma \upsilon \nu 2\omega$

edit: Για λόγους πληρότητας, πρόσθεσα την απόδειξη του συνημιτόνου, εδώ, μετά την ανάρτηση του Αποστόλη

apotin · #3

Ακόμη μια απάντηση για το $\displaystyle{\eta \mu 2\alpha = 2\eta \mu \alpha \cdot \sigma \upsilon \nu \alpha }$

: sin2a.png (13.67 KiB) Προβλήθηκε 1168 φορές

είναι
$\displaystyle{\eta \mu 2\alpha = \frac{{KH}}{{AH}} = \frac{{KT + TH}}{{AH}} = \frac{{OB}}{{AH}} + \frac{{TH}}{{AH}} = \frac{{OB}}{{BA}} \cdot \frac{{BA}}{{AH}} + \frac{{TH}}{{BH}} \cdot \frac{{BH}}{{AH}} = }$

$\displaystyle{ = \eta \mu \alpha \cdot \sigma \upsilon \nu \alpha + \sigma \upsilon \nu \alpha \cdot \eta \mu \alpha = 2\eta \mu \alpha \cdot \sigma \upsilon \nu \alpha }$

και για το $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 2\alpha = \sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha - \eta {\mu ^2}\alpha }$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 2\alpha = \frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{AO - OK}}{{AH}} = \frac{{AO}}{{AH}} - \frac{{BT}}{{AH}} = \frac{{AO}}{{BA}} \cdot \frac{{BA}}{{AH}} - \frac{{BT}}{{BH}} \cdot \frac{{BH}}{{AH}} = }$

$\displaystyle{ = \sigma \upsilon \nu \alpha \cdot \sigma \upsilon \nu \alpha + \eta \mu \alpha \cdot \eta \mu \alpha = \sigma \upsilon {\nu ^2}\alpha - \eta {\mu ^2}\alpha }$

Αν $\displaystyle{B\hat AH = \beta }$ προκύπτουν οι τύποι για τα $\displaystyle{\eta \mu \left( {\alpha + \beta } \right)}$ και $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \left( {\alpha + \beta } \right)}$

#4

Ωραία! Το θέμα αυτό, όπως και τα άλλα δύο με τον ίδιο τίτλο εδώ και εδώ, τα βρίσκει κανείς στο βιβλίο

A treatise on Plane and Advanced Trigonometry, E.W.Hobson, Dover.

Η λύση, η οποία υπάρχει στο βιβλίο, είναι ίδια με του Γιώργου.

#5

matha έγραψε:Να αποδείξετε, με γεωμετρικά επιχειρήματα, ότι αν $\displaystyle{\angle A}$ οξεία γωνία, τότε

$\displaystyle{\sin 2A=2\sin A\cos A}$ ,

$\displaystyle{\cos 2A=\cos ^2 A-\sin ^2A.}$

Καλησπέρα.

Με γωνία κορυφής $\displaystyle{\widehat A = 2\varphi }$ και πλευρές AB=AC=b

κατασκευάζω ισοσκελές τρίγωνο ABC

και φέρνω το ύψος AD=v_a

που είναι και διχοτόμος.

α) $\displaystyle{(ABC) = \frac{1}{2}{b^2}\eta \mu 2\varphi \Leftrightarrow a \cdot {v_a} = {b^2}\eta \mu 2\varphi \Leftrightarrow (2b\eta \mu \varphi )\left( {b\sigma \upsilon \nu \varphi } \right) = {b^2}\eta \mu 2\varphi \Leftrightarrow }$

$\boxed{\eta \mu 2\varphi = 2\eta \mu \varphi \sigma \upsilon \nu \varphi }$

: TRIG_GEOM.png (6.42 KiB) Προβλήθηκε 856 φορές

β) Από νόμο συνημιτόνων: $\boxed{{a^2} = 2{b^2}(1 - \sigma \upsilon \nu 2\varphi )}$ (1)

και από Π. Θ στο τρίγωνο ABD

: $\boxed{4v_a^2=4b^2-a^2}$ (2)

$\displaystyle{\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi - \eta {\mu ^2}\varphi = \frac{{{v_a}^2}}{{{b^2}}} - \frac{{{a^2}}}{{4{b^2}}} = \frac{{4{v_a}^2 - {a^2}}}{{4{b^2}}}\mathop = \limits^{(1),(2)} \frac{{4{b^2} - 4{b^2}(1 - \sigma \upsilon \nu 2\varphi )}}{{4{b^2}}} \Leftrightarrow }$

$\boxed{\sigma \upsilon \nu 2\varphi = \sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi - \eta {\mu ^2}\varphi }$

Τριγωνομετρία με γεωμετρία! (2)

Τριγωνομετρία με γεωμετρία! (2)

Re: Τριγωνομετρία με γεωμετρία! (2)

Re: Τριγωνομετρία με γεωμετρία! (2)

Re: Τριγωνομετρία με γεωμετρία! (2)

Re: Τριγωνομετρία με γεωμετρία! (2)

Μέλη σε σύνδεση