Κατασκευή εφαπτομένης σε έλλειψη

#1

Βασισμένο σε πρόβλημα που έστειλε ο Αχιλλέας Συνεφακόπουλος (achilleas) στους "μαθηματικούς" και έμεινε αναπάντητο -- μάλλον επειδή θεωρήθηκε πολύ εύκολο για εκεί, για εδώ όμως είναι καταλληλότατο:

Να δειχθεί ότι καθώς το

μεταβάλλεται, η εφαπτόμενη της έλλειψης $\displaystyle\frac{x^2}{A^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1$ στο $(a, \displaystyle\frac{b}{A}\sqrt{A^2-a^2})$ περνά από σταθερό σημείο.

Ακολούθως να χρησιμοποιηθεί αυτή η ιδιότητα για μια απλή γεωμετρική κατασκευή της εφαπτομένης της έλλειψης $\displaystyle\frac{x^2}{A^2}+\displaystyle\frac{y^2}{B^2}=1$ στο $(a, \displaystyle\frac{B}{A}\sqrt{A^2-a^2})$ !

Γιώργος Μπαλόγλου

margavare · #2

Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι

$\begin{gathered} \frac{{xa}}{{{A^2}}} + \frac{{y\frac{b}{A}\sqrt {{A^2} - {a^2}} }}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{xa}}{{{A^2}}} + \frac{{y\sqrt {{A^2} - {a^2}} }}{{bA}} = 1 \Leftrightarrow ba \cdot x + A\sqrt {{A^2} - {a^2}} \cdot y = {A^2}b \hfill \\ \hfill \\ \left. \begin{gathered} b = A \hfill \\ \hfill \\ b = - A \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow \left. \begin{gathered} Aa \cdot x + A\sqrt {{A^2} - {a^2}} \cdot y = {A^2}A \hfill \\ \hfill \\ - Aa \cdot x + A\sqrt {{A^2} - {a^2}} \cdot y = - {A^2}A \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow \left. \begin{gathered} a \cdot x + \sqrt {{A^2} - {a^2}} \cdot y = {A^2} \hfill \\ \hfill \\ - a \cdot x + \sqrt {{A^2} - {a^2}} \cdot y = - {A^2} \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow \left( {\frac{{{A^2}}}{a},\;0} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Το σημείο $\left( {\frac{{{A^2}}}{a},\;0} \right)$ επαληθεύει την εξίσωση της εφαπτομένης, άρα η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο αυτό για τις διάφορες τιμές του

.

Για την κατασκευή...ας απαντήσουν άλλοι.

#3

Πολύ απλά ... συνδέουμε τα $(a, \displaystyle\frac{B}{A}\sqrt{A^2-a^2})$ και $(\displaystyle\frac{A^2}{a}, 0)$

[Πιο γεωμετρικά: γράφουμε κύκλο με κέντρο (0, 0)

και ακτίνα

ο οποίος τέμνει την x=a

σε σημείο $P=(a, \sqrt{A^2-a^2})$ , φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου στο

, και ενώνουμε το $(a, \displaystyle\frac{B}{A}\sqrt{A^2-a^2})$ με το σημείο $Q=(\displaystyle\frac{A^2}{a}, 0)$ στο οποίο η εφαπτομένη του κύκλου στο

τέμνει τον άξονα των

]

Γιώργος Μπαλόγλου

Κατασκευή εφαπτομένης σε έλλειψη

Κατασκευή εφαπτομένης σε έλλειψη

Re: Κατασκευή εφαπτομένης σε έλλειψη

Re: Κατασκευή εφαπτομένης σε έλλειψη

Μέλη σε σύνδεση