Bulletin Λυμένες Γεωμετρίας με 7+ τρόπους

Ευρετήρια θεμάτων που συζητήθηκαν στο mathematica.gr
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Bulletin Λυμένες Γεωμετρίας με 7+ τρόπους

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από parmenides51 » Πέμ Μαρ 28, 2013 2:26 am

Αποφάσισα να συγκεντρώσω σε μια δημοσίευση όσες ασκήσεις Γεωμετρίας περιέχουν τουλάχιστον 7 λύσεις (με κάθε τρόπο). Σχετικά εδώ.
Οι παραπομπές αυτών συνήθως περιέχουν κι άλλες λύσεις που προστίθενται στο σύνολο των λύσεων.
Τα κόκκινα γράμματα αφορούν τα ''βρείτε'' του Μιχάλη Νάννου,
τα πράσινα γράμματα αφορούν τα ''γεωμετρείν'' του Δημήτρη Μυρογιάννη,
τέλος η μπλε αρίθμηση αφορά την συλλογή που ετοιμάζω.

Σύνολο Ασκήσεων: 112


6 λύσεις έχουμε, άλλη μια ψάχνουμε για να γίνουν 7
\displaystyle{{\color{red}\bullet} παιχνίδι με τις γωνίες από Χρήστο Κυριαζή
\displaystyle{{\color{red}\bullet} 3 ασκήσεις από Απολώνιο by lonis (άσκηση 2α) από Γιώργο Ρίζο
\displaystyle{{\color{red}\bullet} βρείτε τη γωνία χ 39 από Μιχάλη Νάννο
\displaystyle{{\color{red}\bullet} ορθογώνιο , καθετότητα , εμβαδόν από Παναγιώτη Γιαννόπουλο
\displaystyle{{\color{red}\bullet} βρείτε τη γωνία x 71 - ηλεκτρο από Μιχάλη Νάννο
\displaystyle{{\color{red}\bullet} κλασική Ευκλείδεια από Σωτήρη Σκοτίδα
\displaystyle{{\color{red}\bullet} γεωμετρείν 45 από Δημήτρη Μυρογιάννη
\displaystyle{{\color{red}\bullet} ας χορδίσουμε ... από KARKAR
\displaystyle{{\color{red}\bullet} σχεδόν πάντα μεγαλύτερο από KARKAR
\displaystyle{{\color{red}\bullet} βρείτε την πλευρά (29) από Μιχάλη Νάννο
\displaystyle{{\color{red}\bullet} καθετότητα από Σωκράτη Λύρα
\displaystyle{{\color{red}\bullet} υπολογισμός γωνίας από Δημήτρη Ιωάννου
\displaystyle{{\color{red}\bullet} βρείτε την πλευρά (33) από Μιχάλη Νάννο
\displaystyle{{\color{red}\bullet} βρείτε την πλευρά (34) από Μιχάλη Νάννο
\displaystyle{{\color{red}\bullet} γεωμετρείν 77 από Δημήτρη Μυρογιάννη
\displaystyle{{\color{red}\bullet} γεωμετρείν 85 από Δημήτρη Μυρογιάννη
\displaystyle{{\color{red}\bullet} γεωμετρείν 86 από Δημήτρη Μυρογιάννη
\displaystyle{{\color{red}\bullet} δια μέσων από KARKAR
\displaystyle{{\color{red}\bullet} συνευθειακά μέσα από KARKAR
\displaystyle{{\color{red}\bullet} τετράγωνο, ισότητα, τομές, συνευθειακά... από Antonis_Z
\displaystyle{{\color{red}\bullet} συνευθειακά σημεία σε τετράγωνο από Grigoris K.
\displaystyle{{\color{red}\bullet} λόγος εμβαδών σε ισόπλευρο από KARKAR
\displaystyle{{\color{red}\bullet} εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου από polysindos
\displaystyle{{\color{red}\bullet} ισότητα και καθετότητα από Νίκο Φραγκάκη
\displaystyle{{\color{red}\bullet} καλός λόγος από KARKAR
\displaystyle{{\color{red}\bullet} ημικύκλιο, τεταρτοκύκλιο και διχοτομία από Κώστα Βήττα
\displaystyle{{\color{red}\bullet} τύπος για εμβαδόν από KARKAR
\displaystyle{{\color{red}\bullet} η μια (επαφή) φέρνει την άλλη από Νίκο Φραγκάκη
\displaystyle{{\color{red}\bullet} διπλή τριχοτόμηση από Νίκο Φραγκάκη
\displaystyle{{\color{red}\bullet} ισεμβαδικά από KARKAR
\displaystyle{{\color{red}\bullet} τμηματάκι από KARKAR
\displaystyle{{\color{red}\bullet} γωνία λόγω εμβαδών από KARKAR
\displaystyle{{\color{red}\bullet} ισότητα από ισογώνιες από KARKAR
\displaystyle{{\color{red}\bullet} μήκος πλευράς από BRAHMA
\displaystyle{{\color{red}\bullet} ορθογώνιο σε τετράγωνο από KARKAR
\displaystyle{{\color{red}\bullet} ισοσκελές από erxmer


Xρησιμοποιούνται οι Φάκελοι: (μέχρι 01-05-2013)
ΑΣΕΠ: Προτεινόμενα Θέματα,
Ασκήσεις Μόνο για Μαθητές
Α', Β', Γ' Γυμνασίου
Θέματα Διαγωνισμών ΕΜΕ
Γενικά Θέματα
Γεωμετρία Α΄ Λυκείου
Γεωμετρία Β΄ Λυκείου
Γεωμετρία Juniors
Γεωμετρία Seniors
Φάκελος του Καθηγητή: Γενικά
Φάκελος του Καθηγητή: Γεωμετρία
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄Λυκείου




Tα πρωτεία τα έχουν οι εξής:
01\displaystyle{{\color{red}\bullet} αναζητείται η ... απόδειξη κλασικής πρότασης από Νίκο Κυριαζή
(Τα ύψη κάθε τριγώνου συντρέχουν)
02\displaystyle{{\color{red}\bullet} αναζητείται το ... κριτήριο του χρυσού ορθογωνίου τριγώνου από Νίκο Κυριαζή
(Κάθε ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου, η μεγάλη κάθετη πλευρά είναι μέση ανάλογος των δύο άλλων πλευρών του, χαρακτηρίζεται σαν «χρυσό ορθογώνιο τρίγωνο».)
03\displaystyle{{\color{red}\bullet} άσκηση σχολικού βιβλίου (σελ.186 σύνθετα 5)
(Θεωρούμε κύκλο \displaystyle{(O,R),} διάμετρό του \displaystyle{AB} και μία χορδή του \displaystyle{CD} που τέμνει την \displaystyle{AB} στο \displaystyle{E} και σχηματίζει με αυτή γωνία \displaystyle{45^0.} Να αποδείξετε ότι \displaystyle{EC^2+ED^2=2R^2.})
04\displaystyle{{\color{red}\bullet} είναι ορθή (σε τετράγωνο μέσο πλευράς και ένα τέταρτο διαγωνίου) από Νίκο Φραγκάκη
(Σε τετράγωνο ABCD το E είναι μέσο της πλευράς AB και το Z σημείο της διαγωνίου AC , τέτοιο ώστε, AZ = 3 \cdot ZC .Να δειχθεί ότι η γωνία D\hat ZE είναι ορθή.)

Ασκήσεις με γωνίες
ισοσκελές \displaystyle{100-40-40}, \displaystyle{AD=BC}
(Σε ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle{ABC \, (AB=AC)} με \displaystyle{\widehat{A} = 100^o}, παίρνουμε σημείο \displaystyle{D} στην προέκταση της \displaystyle{AB} τέτοιο ώστε \displaystyle{AD=BC}. Υπολογίστε τη γωνία \displaystyle{\widehat{BCD}}.)
ισοσκελές \displaystyle{20-80-80}, \displaystyle{\widehat{BCD}=70^o},\widehat{CBE}=60^o} (γεωμετρείν 50)
(Σε ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle{ABC \, (AB=AC)} με \displaystyle{\widehat{A} =20^o}, παίρνουμε σημείο \displaystyle{D} ώστε \displaystyle{\widehat{BCD}=70^o} και το σημείο \displaystyle{E} ώστε \displaystyle{\widehat{CBE}=60^o} . Να υπολογίσετε την \displaystyle{\widehat{AED}.)
ισοσκελές \displaystyle{20-80-80}, \displaystyle{\widehat{DBC}=60^o},\widehat{ECB}=50^o} (μια εργασία εδώ)
(Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC//  (AB=AC) και γωνία \angle{A}=20^o}. Πάνω στην πλευρά AC θεωρούμε σημείο D, τέτοιο ώστε \widehat{DBC}=60^{\circ} και πάνω στην πλευρά AB θεωρούμε σημείο E τέτοιο ώστε \widehat{ECB}=50^o. Να βρεθεί η γωνία \widehat{EDB}.)
ισοσκελές \displaystyle{20-80-80}, \displaystyle{AD=BC} (γεωμετρείν 35)
(Σε ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle{ABC \, (AB=AC)} με \displaystyle{\widehat{A} = 20^o}, παίρνουμε σημείο \displaystyle{D} στην προέκταση της \displaystyle{AC} τέτοιο ώστε \displaystyle{AD=BC}. Υπολογίστε τη γωνία \displaystyle{\widehat{BDC}}.)
ισοσκελές \displaystyle{120-30-30}, \displaystyle{BD = DE = EC }
(Σε ισοσκελές τρίγωνο ABC({120^0}{,30^0}{,30^0}) θεωρούμε τα σημεία D,E της μεγαλύτερης πλευράς BC , τέτοια ώστε:
BD = DE = EC . να δειχθεί ότι : D\hat AC = {90^0} )
τρίγωνο \displaystyle{a=2\gamma, \widehat{B}=2\widehat{\Gamma}} νδο \displaystyle{\widehat{A}=90^o}
(Σε τρίγωνο \displaystyle{ABC : \displaystyle{BC=2AC}, \displaystyle{\widehat{B}=2\widehat{C}} νδο \displaystyle{\widehat{A}=90^o})
τρίγωνο \displaystyle{\widehat{A} = 120^o}, ζητείται γωνία μεταξύ των ιχνών των διχοτόμων του
(Σε τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} με \displaystyle{\widehat{A}=120^o} φέρνουμε τις διχοτόμους \displaystyle{AA_1,BB_1,\Gamma\Gamma_1} των γωνιών του.Να υπολογίσετε την γωνία \displaystyle{\widehat{B_1A_1\Gamma_1}}.)
τρίγωνο \displaystyle{120-45-15}, \displaystyle{AD=2AC}
(Σε τρίγωνο \displaystyle{ABC} : \displaystyle{\widehat{C}= 45^o}, \displaystyle{\widehat{B}= 15^o }. Στην προέκταση της πλευράς \displaystyle{CA} προς το \displaystyle{A} παίρνουμε τμήμα \displaystyle{AD=2AC}. Να υπολογίσετε τη γωνία \displaystyle{\widehat{ADB}}.)
τρίγωνο \displaystyle{135-30-15}, \displaystyle{AC=BD}
(Σε τρίγωνο AB\Gamma είναι \hat{B}=15^o,\,\,\,\hat{\Gamma}=30^o. Στην πλευρά B\Gamma παίρνουμε σημείο \Delta, τέτοιο ώστε B\Delta=A\Gamma. Να υπολογίσετε τη γωνία \hat{BA\Delta}.)
τρίγωνο \displaystyle{135-30-15}, \displaystyle{BM=MC} (γεωμετρείν 26)
(Σε τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} είναι \displaystyle{\widehat{B}=30^o} και \displaystyle{\widehat{\Gamma}=15^o}.Αν \displaystyle{A\Delta} είναι ύψος και \displaystyle{AM} διάμεσος του, να δείξετε ότι \displaystyle{\widehat{\Delta AM}=45^o}.)
εναλλακτική εκφώνηση:
(Σε ένα τρίγωνο η \widehat{\rm B} είναι {30^ o } και η \widehat{\Gamma} είναι {15^o }. Αν M} είναι το μέσο του B\Gamma, να βρεθεί η \widehat{MA\Gamma}.)
τρίγωνο \displaystyle{75-45-60} από Μπάμπη Στεργίου (Ρουμανία - 2005)
(Σε ένα τρίγωνο \displaystyle{ABC} η γωνία \displaystyle{B} είναι \displaystyle{75} και η γωνία \displaystyle{C\,\,} \displaystyle{45} μοίρες. Φέρνουμε το ύψος \displaystyle{BD} και στην πλευρά \displaystyle{AB} παίρνουμε σημείο \displaystyle{E} τέτοιο, ώστε η γωνία \displaystyle{ACE} να είναι ίση με \displaystyle{15} μοίρες. Να αποδειχθεί ότι : α) η \displaystyle{DE} είναι παράλληλη με την \displaystyle{BC}, β) Αν η κάθετη προς την \displaystyle{CE} στο \displaystyle{E} τέμνει την ευθεία \displaystyle{DB} στο \displaystyle{Z}, τότε \displaystyle{EZ = BC} και η γωνία \displaystyle{BZC} είναι ίση με \displaystyle{30} μοίρες.)
τρίγωνο \displaystyle{90-50-40} από Μιχάλη Νάννο
(Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma } με {\rm E}\widehat{\rm B}{\rm A} = {20^ \circ }, {\rm E}\widehat{\rm B}\Gamma  = \Delta \widehat\Gamma {\rm B} = {30^ \circ } δείξτε ότι η γωνία \Delta \widehat{\rm E}{\rm B} = x = {40^ \circ }) (βρείτε τη γωνία χ 22)
από Βραζιλία (εντός τετράπλευρου \displaystyle{30,20,50,30}) από Λεωνίδα Θαρραλίδη (15η Βραζιλιάνικης Μαθηματικής Ολυμπιάδας, 1993)
(Το \displaystyle{ABCD} είναι ένα κυρτό τετράπλευρο με \hat{BAC}=30^{\circ}, \hat{CAD}=20^{\circ}, \hat{ABD}=50^{\circ} και \hat{DBC}=30^{\circ}. Αν οι διαγώνιές του τέμνονται στο \displaystyle{P}, να δειχτεί ότι: PC=PD.)
εντός τετράπλευρου \displaystyle{30,30,45,15} από Δημήτρη Μυρογιάννη (γεωμετρείν 88)
(Έστω τετράπλευρο \;ABCD και οι διαγώνιές του \;AC,BD . Αν οι γωνίες \;BAC,ACB,CAD,ACD έχουν μέτρο \΄15^0,30^0,45^0,30^0 αντίστοιχα, βρείτε το μέτρο της γωνίας \;BDC .)
διάμεσος σε αμβλυγώνιο τρίγωνο από Μιχάλη Νάννο (βρείτε τη γωνία x 76)
(Σε τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma με \widehat {\rm A} αμβλεία, φέρω τη διάμεσο \Gamma \Delta. Αν ισχύει{\rm A}\widehat \Gamma \Delta  = 2\Delta \widehat \Gamma {\rm B} = {30^ \circ }, βρείτε τη γωνία x = \widehat {\rm B}.)
ορθογώνιο τρίγωνο από KARKAR
(Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC (\displaystyle{\widehat{A}=90^o})με \displaystyle{D} σημείο της \displaystyle{AB} είναι : AD=x , AC=3x , DB=5x . Βρείτε το μέτρο της γωνίας \phi=\widehat{DCB}.)
Βιτάλη - Γέλων ( τρίγωνο \displaystyle{75}) από Γιώργο Μήτσιο
(Σε τρίγωνο ABCμε \hat{A}=75^{0} και BC = \sqrt{3}+1 . Το D είναι σημείο της BC τέτοιο ώστε BD=1 και \hat{BAD}=30^{0}. Να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών B και C.)
ισόπλευρο εντός τετράγωνου από γωνίες \displaystyle{15^o}
(Δίνεται τετράγωνο \displaystyle{$ABCD} και εσωτερικό σημείο του \displaystyle{O} ώστε οι γωνίες \displaystyle{OCD} και \displaystyle{ODC} να είναι \displaystyle{15} μοίρες η καθεμιά. Να δείξετε ότι το τρίγωνο \displaystyle{OAB} είναι ισόπλευρο.)
ίσες γωνίες (σε 3 διαδοχικά τετράγωνα)
(Δίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC με υποτείνουσα BC και AB=3AC. Πάνω στην πλευρά AB Θεωρούμε τα σημεία D,E έτσι ώστε να είναι AD=DE=EB. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες DCE και B είναι ίσες.)
γωνία από τμήματα σε 3 διαδοχικά τετράγωνα
(Με δεδομένο ότι τα AB\varGamma\varDelta , BEZ\varGamma , EH\Theta{Z} είναι τετράγωνα και \displaystyle{K} το σημείο τομής των \displaystyle{AZ,\DeltaH}, να αποδειχθεί ότι \widehat{AK\varDelta}=45^{\circ} )
άθροισμα γωνιών \displaystyle{45^o} σε 3 διαδοχικά τετράγωνα
(Θεωρούμε τα τετράγωνα \displaystyle{ABB_1 A_1 ,B\Gamma \Gamma _1 {\rm B}_1 ,\Gamma \Delta \Delta _1 \Gamma _1 }.Να δείξετε ότι \displaystyle{A\widehat\Gamma {\rm A}_1  + {\rm A}\widehat\Delta {\rm A}_1  = 45^0 })
εναλλακτική εκφώνηση:
(Θεωρούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{ABC} (\displaystyle{\widehat{\rm A} = {90^0}}) με \displaystyle{AC=3AB}. Στην πλευρά του \displaystyle{AC} παίρνουμε δύο σημεία \displaystyle{D} και \displaystyle{E} έτσι ώστε: \displaystyle{AD = DE = EC}. Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{\widehat{{\rm B}{\rm E}{\rm A}} + \widehat{{\rm B}\Gamma {\rm A}} = {45^0}})
άθροισμα γωνιών \displaystyle{45^o} σε 3 διαδοχικά τετράγωνα 2 από KARKAR
(Το ορθογώνιο BEZC διαστάσεων \displaystyle{a,2a} τοποθετήθηκε δίπλα από το τετράγωνο ABCD πλεύρας \displaystyle{a}. Έστω \displaystyle{M} το μέσο της \displaystyle{EZ}. Υπολογίστε το άθροισμα : \phi+\theta=\widehat{BZE}+\widehat{MAE} . )
σαν Πυθαγόρειο από KARKAR
(Στο τρίγωνο \displaystyle ABC , όπου \widehat{A}=2\widehat{C}\Rightarrow a^2= c^2+bc.)

βρείτε / γεωμετρείν
βρείτε τη γωνία χ 21 από Μιχάλη Νάννο
(Δίνεται \Gamma \widehat{\rm A}\Delta  = {10^ \circ }, {\rm B}\widehat{\rm A}\Delta  = {30^ \circ }, \displaystyle{AB=AC} και \displaystyle{AD=BC}. Βρείτε τη γωνία {\rm A}\widehat\Gamma \Delta  = x.)
βρείτε τη γωνία χ 36 από Μιχάλη Νάννο
(Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle{ABC},\displaystyle{ \widehat{CDE} = {90^o } και\displaystyle{AD  = BE}. Βρείτε τη γωνία \displaystyle{\widehat{ACD}  = x}.)
βρείτε τη γωνία χ 58 από Μιχάλη Νάννο
(Δίνεται τετράγωνο \displaystyle{ABCD} πλευράς \displaystyle{1} και σημεία \displaystyle{E,Z} πάνω στις πλευρές \displaystyle{AD} και \displaystyle{AB} αντίστοιχα, τέτοια ώστε: \displaystyle{AE+EZ+ZA=2}. Βρείτε τη γωνία \displaystyle{x =\widehat {ECZ}}.)
βρείτε τη γωνία χ 69, 95] από Μιχάλη Νάννο
(Επί των πλευρών AB,BC ισοπλεύρου τριγώνου παίρνουμε αντίστοιχα σημεία D,E, τέτοια ώστε C\widehat DE = {30^ \circ } και EB = 2AD. Βρείτε τη γωνία x = D\widehat CB)
βρείτε τη γωνία χ 115 από Μιχάλη Νάννο
(Δίνεται τετράγωνο ABCD και σημεία E,Z επί των BC,CD αντίστοιχα, τέτοια ώστε: BE = 21,\,ZC = 24 και ZD = 4. Βρείτε τη γωνία x = Z\widehat AE.)
βρείτε το εμβαδόν 9 από Μιχάλη Νάννο
(Στο εσωτερικό τετραγώνου \displaystyle{ABCD} φέρουμε το ημικύκλιο με διάμετρο \displaystyle{AB} και το τεταρτοκύκλιο με κέντρο \displaystyle{C} και ακτίνα \displaystyle{CD}. Αν \displaystyle{E} το σημείο τομής τους και \displaystyle{ED  = 3\sqrt 2} βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου.)
βρείτε το εμβαδόν 20 από Μιχάλη Νάννο
(Στις πλευρές AB,BC τριγώνου παίρνουμε αντίστοιχα σημεία D,E, έτσι ώστε CD = AE = 7. Αν A\widehat KC = {90^ \circ }\,(K \equiv CD \cap AE) και AK = 4,\,KC = 5, βρείτε το \left( {DBE} \right).)
γεωμετρείν 47 από Δημήτρη Μυρογιάννη
(Έστω ημιπεριφέρεια διαμέτρου AB και κέντρου K, επί της οποίας λαμβάνουμε τυχαία σημεία F,C.Φέρουμε τις AC,AF και επί της AE παίρνουμε σημείο E τέτοιο ώστε AK=AE.Από το σημείο E φέρουμε την EG κάθετα στην AF.)
γεωμετρείν 80 από Δημήτρη Μυρογιάννη
(Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ABC με ορθή τη γωνία A . Επί της πλευράς AC λαμβάνουμε σημείο D τέτοιο ώστε η γωνία CBD να είναι διπλάσια από την DBA και επί της πλευράς BC λαμβάνουμε σημείο E τέτοιο ώστε οι γωνίες BDE, ACB να έχουν το ίδιο μέτρο.Δείξτε ότι DE=2 DA .)
γεωμετρείν 83 από Δημήτρη Μυρογιάννη
(Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \;ABC με τη γωνία A ορθή και M το μέσο της \;AB .
Με πλευρά την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου \;ABC δημιουργούμε το ισόπλευρο \;DBC .
Αν επιπλέον ισχύουν ότι DM=BC και \frac{BC}{AC}=m \in R\;\;, δείξτε ότι \frac{(DBC)}{(ABC)}=\frac{m^2}{4} .)

Ασκήσεις με εμβαδά
το τρίγωνο των διαμέσων (ενός τριγώνου έχει σταθερό εμβαδόν)
(Να αποδειχθεί ότι οι \displaystyle{{\mu _\alpha },{\mu _\beta }} και \displaystyle{{\mu _\gamma }}, διάμεσοι του τριγώνου \displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }, σχηματίζουν τρίγωνο με εμβαδόν \displaystyle{{\rm E} = \frac{3}{4} \cdot {{\rm E}_{{\rm A}{\rm B}\Gamma }}}.)
εμβαδόν τραπεζίου από Μπάμπη Στεργίου
(Σε ένα τραπέζιο με βάσεις \displaystyle{AB} και \displaystyle{CD} είναι \displaystyle{AB=15 \, , \,BC = 12\, , \, CD = 30} και \displaystyle{DA = 9}. Να βρεθεί το εμβαδόν του τραπεζίου αυτού)
σταθερό άθροισμα εμβαδών από KARKAR
(Τόξο \displaystyle{ \overset{\frown}{ST}} σταθερού μήκους \displaystyle{ s} , (\displaystyle{s<\frac{\pi R}{2}}) , μετακινείται επί του τόξου \displaystyle{\overset{\frown}{AB} }, του τεταρτοκυκλικού τομέα \displaystyle{OAB}. Από τα άκρα του , φέρω τα τμήματα \displaystyle{SD} , \displaystyle{TE} , κάθετα προς την \displaystyle{OA} , και τα \displaystyle{SZ} , \displaystyle{TH} , κάθετα προς την \displaystyle{OB} . Φέροντας και τη χορδή \displaystyle{ST} , σχηματίζονται δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα και ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Δείξτε ότι το : \displaystyle{E_{1}+E_{2}+2E_{3}} , είναι σταθερό . ( \displaystyle{E_{1}, E_{2}, E_{3}} είναι τα εμβαδά των σχημάτων)
θα πάρεις το λόγο για να δώσεις λόγο από KARKAR
(Η διακεκομμένη στο σχήμα είναι η μεσοκάθετος του προς την υποτείνουσα ύψους . Αν : \displaystyle \frac{AC}{AB}=\frac{1}{2} , βρείτε τον : \displaystyle \frac{(SAD)}{(ABC)} )
δίκαιη μοιρασιά (εντός τετραγώνου) από KARKAR
(Στο τετράγωνο ABCD τα M,N είναι τα μέσα των πλευρών AB , BC αντίστοιχα . Πώς θα επιλέξουμε σημείο S επί της MD , ώστε να είναι : \displaystyle (DSNC)=\frac{1}{2}(ABCD) ?)
εύκολη "μισεμβαδικότητα" από Ηλία Καμπελη
(Δίνεται τετράπλευρο ABCD εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου O με κάθετες διαγώνιες. Να δείξετε ότι \displaystyle\left( {AOCD} \right) = \frac{{\left( {ABCD} \right)}}{2})
εμβαδόν τραπεζίου από Στράτο Παπαδόπουλο (εδώ) (γεωμετρείν 6)
(Έστω \displaystyle{AB\Gamma \Delta } τραπέζιο, \displaystyle{O} το σημείο τομής των μη παράλληλων πλευρών \displaystyle{
A\Delta ,\,B\Gamma } και \displaystyle{K,\,\Lambda } τα μέσα των διαγωνίων του. Αν \displaystyle{(OK\Lambda ) = 8}, τότε να βρεθεί το \displaystyle{(AB\Gamma \Delta )}.)
εναλλακτική εκφώνηση:
(Έστω τρίγωνο ABC και τυχαία σημεία D,E επί των πλευρών του AB, AC αντίστοιχα. Αν F, G είναι αντίστοιχα οι προβολές των D,E επί της BC και M, N τα μέσα των BE, CD αντίστοιχα , δείξτε ότι το τρίγωνο AMN και το τετράπλευρο MNGF είναι ισοδύναμα.)
μικρό κλάσμα από KARKAR
(Επί των πλευρών BA , BC τριγώνου \displaystyle ABC , βρίσκονται σημεία M , N , ώστε : \displaystyle BM=\frac{1}{2}BA \; , BN=\frac{1}{3}BC.Τα τμήματα AN , CM , τέμνονται στο σημείο S . Δείξτε ότι : \displaystyle (MSN)=\frac{1}{15}(ABC).)

Οι υπόλοιπες:
κατασκευή διχοτόμου γωνίας της οποίας οι πλευρές τέμνονται εκτός σχεδίου
(Να κατασκευαστεί η διχοτόμος μιας δεδομένης γωνίας χωρίς να χρησιμοποιηθεί η κορυφή της.)
κατασκευή της ρίζας του 7
Θεώρημα Steiner- Lehmus (εδώ, εδώ, εδώ, εδώ, εδώ, εδώ)
(Αν ένα τρίγωνο έχει δύο διχοτόμους ίσες, να δείξετε ότι είναι ισοσκελές.)
ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο από Μπάμπη Στεργίου
(Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle{ABC} με υποτείνουσα \displaystyle{BC}. Στο εσωτερικό του τριγώνου παίρνουμε σημείο \displaystyle{M} τέτοιο , ώστε \angle ABM = \angle MCB = 30. Να αποδειχθεί ότι το \displaystyle{M} βρίσκεται σε κάποιο από τα τμήματα που συνδέει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου.)
εντός ισοπλεύρου, ζητείται καθετότητα από μέσα και προβολές από Μπάμπη Στεργίου
(Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle{ABC}, το μέσο \displaystyle{M} του \displaystyle{AB}, η προβολή \displaystyle{D} του \displaystyle{M} στην \displaystyle{AC} και το μέσο \displaystyle{N} του \displaystyle{MD} . Να αποδειχθεί ότι οι \displaystyle{BD , CN} τέμνονται κάθετα.)
εντός τετραγώνου, ζητείται τριπλάσιο μήκος από Μπάμπη Στεργίου
(Έστω \displaystyle{M} το μέσο της πλευράς \displaystyle{BC} ενός τετραγώνου \displaystyle{ABCD}. Η \displaystyle{AC} τέμνει την \displaystyle{DM} στο \displaystyle{E}. Αν \displaystyle{Z} είναι η προβολή του \displaystyle{C} στην \displaystyle{DM}, να αποδειχθεί ότι \displaystyle{CZ = 3ZE}.)
ισοσκελές τρίγωνο, κύκλος από περίκεντρο και ορθόκεντρο και μια από τις γωνίες της βάσης από Μπάμπη Στεργίου (Βρετανική Ολυμπιάδα 2009)
(Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle{ABC} με \displaystyle{AB=AC} ας είναι \displaystyle{O} το περίκεντρο και \displaystyle{H} το ορθόκεντρο. Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος \displaystyle{(B,H,O)} έχει το κέντρο του στην \displaystyle{AB}.)
ημιπερίμετρος (τριγώνου και τραπέζιο από εξωτερικές διχοτόμους) από Σπύρο Καρδαμίτση
(Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{ABC}. Αν \displaystyle{D} και \displaystyle{E} οι προβολές της κορυφής \displaystyle{A} στις εξωτερικές διχοτόμους των γωνιών \displaystyle{B} και \displaystyle{C} αντίστοιχα, να δείξετε ότι:
1. \displaystyle{DE // BC} 2. Η \displaystyle{DE} είναι ίση με την ημιπερίμετρο του τριγώνου \displaystyle{ABC})
τετράγωνο και 15 μοίρες από Σπύρο Καρδαμίτση
(Σε τετράγωνο \displaystyle{ABCD}, με \displaystyle{E,Z} σημεία των \displaystyle{AD,AB} αντίστοιχα και \displaystyle{H} σημείο τομής των \displaystyle{EZ,AC}. Αν η γωνία \displaystyle{AEZ} είναι \displaystyle{15} μοίρες και \displaystyle{AH = 1} να υπολογίσετε το άθροισμα \displaystyle{\frac{1}{{AE}} + \frac{1}{{AZ}}})
ενωμένα μέσα ίσων τμημάτων εντός ορθογωνίου από γωνίες \displaystyle{15^o}
(Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{ABC} (\displaystyle{B={90^ \circ }}), \displaystyle{AD=CD=4 \, cm} και \displaystyle{\widehat{B AD} =\widehat{BGE} = {15^ o}}. Έστω \displaystyle{Z,H} τα μέσα των \displaystyle{AD, CE} αντίστοιχα. Βρείτε το μήκος \displaystyle{ZH}.)
ισοσκελές τρίγωνο (BD=CE,\angle BAD=\angle EAC) από Αχιλλέα Συνεφακόπουλο (Bay Area Mathematical Olympiad toy 2007)
(Στο εσωτερικό της πλευράς BC τριγώνου \triangle ABC υπάρχουν σημεία D,E τέτοια ώστε BD=CE και \angle BAD=\angle EAC. Να δειχθεί ότι το τρίγωνο \triangle ABC είναι ισοσκελές.)
καθετότητα σε ορθογώνιο (δοθέντος καθετότητας και διπλάσιο μήκος) από Μπάμπη Στεργίου
(Στην πλευρά \displaystyle{AB} ενός ορθογωνίου \displaystyle{ABCD} παίρνουμε σημείο \displaystyle{M} ώστε \displaystyle{AM=2MB}. Αν η \displaystyle{CM} είναι κάθετη στην \displaystyle{BD} και \displaystyle{O} είναι μέσο του \displaystyle{BD} , να αποδειχθεί ότι η γωνία \displaystyle{MOC} είναι ορθή.)
γεωμετρία από τον Μπάμπη (καθετότητα σε ορθογώνιο τρίγωνο) από Μπάμπη Στεργίου (Μ308 CRUX)
(Έστω \displaystyle{ABC} ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή την γωνία \displaystyle{A}. Αν \displaystyle{M} το μέσο της \displaystyle{AB, D} το ίχνος της καθέτου από το \displaystyle{A} στην \displaystyle{CM} και \displaystyle{N} το μέσο της \displaystyle{DC}, να αποδείξετε ότι το\displaystyle{ BD} είναι κάθετο στο \displaystyle{AN})
4 (διαδοχικά) ισόπλευρα (τρίγωνα) από Νίκο Μαυρογιάννη
(Στο σχήμα τα \displaystyle{4} τρίγωνα είναι ισόπλευρα με πλευρά \displaystyle{1}. Βρείτε το AB.)
καθετότητα (σε κύκλο από τέμνουσα) από Κώστα Δόρτσιο (Γ. Τσίντσιφα: Γεωμετρία τεύχος 1. Άλυτες 962)
(Θεωρούμε κύκλο \displaystyle{(O,\rho)}. Σε τυχαίο σημείο του \displaystyle{A} φέρνουμε την εφαπτομένη και σ’ αυτήν λαμβάνουμε τυχαίο σημείο \displaystyle{P}. Από το σημείο \displaystyle{P} θεωρούμε τη \displaystyle{PBC} τυχούσα τέμνουσα του κύκλου και στη συνέχεια παραλλήλους από το \displaystyle{P} προς τις \displaystyle{AB} και \displaystyle{AC} που τέμνουν τους φορείς των \displaystyle{AC} και \displaystyle{AB} αντίστοιχα στα σημεία \displaystyle{M} και \displaystyle{N}. Να δειχθεί ότι η \displaystyle{MN} είναι κάθετη στην \displaystyle{PO}. )
τρίγωνο με γωνία διπλάσια άλλης από Στράτη Αντωνέα
(Σε ένα τρίγωνο AB\varGamma είναι \hat{A}=2\hat{B}. Φέρνουμε τη διχοτόμο A\varDelta του τριγώνου και από την κορυφή \varGamma κάθετο στην A\varDelta, που την τέμνει στο σημείο E.Να αποδειχθεί ότι B\varGamma=2AE.)
καθετότητα σε ορθογώνιο από Παναγιώτη Γιαννόπουλο
(Δίδεται \displaystyle{ABCD} ορθογώνιο και \displaystyle{BE} κάθετος στην \displaystyle{AC}. Αν \displaystyle{M} και \displaystyle{N} αντιστοίχως τα μέσα των \displaystyle{AE} και \displaystyle{DC} να δειχθεί ότι \displaystyle{NM} κάθετος στην \displaystyle{MB})
oρθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο από Στράτη Αντωνέα
(Σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο AB\varGamma, με \hat{\rm A}=90^0, φέρνουμε το ύψος A\varDelta και τη διχοτόμο του BE, που τέμνονται στο σημείο Z. Να αποδείξετε ότι E\varGamma = 2Z\varDelta.)
γωνία -OMB- ορθή από Φωτεινή (ΙΜΟ 1985)
(Ένας κύκλος κέντρου Oπερνάει από τις κορυφές A,C του τριγώνου ABC και τέμνει πάλι τις πλευρές AB,BC σε διακεκριμένα σημεία K,N. Οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων ABC,KBN τέμνονται σε ακριβώς δύο διακεκριμένα σημεία B και M.
Να δείξετε ότι \widehat{OMB}=90^o)
ισότητα γωνιών (από τεταρτοκύκλιο και ημικύκλιο σε τετράγωνο) από Μιχάλη Νάννο (εδώ, εδώ)
(Στο εσωτερικό τετραγώνου {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta φέρουμε το ημικύκλιο με διάμετρο {\rm A}{\rm B} και το τεταρτοκύκλιο με κέντρο {\rm B} και ακτίνα {\rm B}{\rm A}. Έστω {\rm E} τυχαίο σημείο του ημικυκλίου και {\rm Z} το σημείο τομής της προέκτασης του {\rm B}{\rm E} και του τεταρτοκυκλίου. Δείξτε ότι \Delta \widehat {\rm A}{\rm Z} = {\rm Z}\widehat {\rm A}{\rm E}.)
νέο μοντέλο εκφώνησης (σε ορθογώνιο τρίγωνο) από KARKAR
(Σε ορθογώνιο τρίγωνο θεωρώ στην υποτείνουσα \displaystyle{BC} τα σημεία \displaystyle{D, E} τέτοια ώστε a=BC=4BE. Να βρεθεί με 3 τουλάχιστον τρόπους το AE συναρτήσει των πλευρών b,c.)
μετρική σε ημικύκλιο από KARKAR
(Σε ημικύκλιο διαμέτρου AB , οι χορδές AC , BD τέμνονται στο S . Δείξτε ότι : AB^{2}=AS{\cdot} AC+BS{\cdot} BD )
εναλλακτική εκφώνηση:
(Σε οξυγώνιο τρίγωνο \displaystyle{AB \Gamma} τα ύψη του \displaystyle{B\Delta} και \displaystyle{ \Gamma E} τέμνονται στο \displaystyle{H}. Να δείξετε ότι: \displaystyle{
B\Gamma ^2  = B\Delta  \cdot BH + \Gamma {\rm E} \cdot \Gamma H})
ομοκυκλικά 2 (σε ορθογώνιο με λόγο πλευρών 3:1) από Στάθη Κούτρα
(Σε ορθογώνιο \displaystyle{ABCD} ισχύει: \displaystyle{AB = 3BC}. Στην πλευρά του \displaystyle{AB} παίρνουμε τα σημεία \displaystyle{E,Z} ώστε: \displaystyle{AE = EZ = ZB}. Αν \displaystyle{H \equiv BD \cap EC} να δειχθεί ότι τα σημεία \displaystyle{Z,H,C,B} είναι ομοκυκλικά.)
σχέση προβολής με πλευρά (σε τρίγωνο με διπλάσια γωνία) από Στάθη Κούτρα
(Σε τρίγωνο \displaystyle{\vartriangle ABC} είναι \displaystyle{\hat C = 2\hat A}. Να δείξετε ότι η ορθή προβολή \displaystyle{CD} της \displaystyle{BC} στη διχοτόμο της γωνίας \displaystyle{\hat C} είναι ίση με το μισό της πλευράς \displaystyle{AB} δηλαδή \displaystyle{CD = \frac{{AB}}{2}})
τετράγωνο σε κύκλο (αποστάσεις κορυφών από εφαπτομένη) από Γιώργο Απόκη
(Δίνεται τετράγωνο ABCD εγγεγραμμένο σε κύκλο (O,R) και ευθεία \epsilon εφαπτομένη του κύκλου. Αν A{'},B{'},C{'},D{'} είναι οι ορθές προβολές των (αντίστοιχων) κορυφών του τετραγώνου στην ευθεία, να δείξετε ότι ισχύει AA{'}\cdot CC{'}+BB{'}\cdot DD{'}=R^2)
καθετότητα σε ορθογώνιο τραπέζιο από Στάθη Κούτρα
(Έστω \displaystyle{AB\Gamma\Delta} τραπέζιο με \hat A=\hat \Delta=90^o, και M το μέσο της A\Delta. Οι κάθετες από ταA,\Deltaπρος τιςMB,M\Gammaαντίστοιχα τέμνονται στο \Sigma.Να αποδείξετε ότι M\Sigma \perp B\Gamma )
ίσα εφαπτόμενα τμήματα (από διαφορετικά σημεία) από KARKAR
(Στο άκρο A της διαμέτρου AB , ημικυκλίου ακτίνας R , φέρω την κάθετη \varepsilon και στην προέκταση της διαμέτρου , παίρνω σημείο C , ώστε : BC=AB . Φέρω το εφαπτόμενο τμήμα CT , και την BT , η οποία προεκτεινόμενη τέμνει την \varepsilon , στο σημείο S . Να δειχθεί ότι : CT=AS)
τριχοτόμηση πλευράς από KARKAR
(Θέλοντας να τριχοτομήσουμε την πλευρά BC, ενός τριγώνου \displaystyle  ABC, ακολουθούμε την εξής πορεία: Βρίσκουμε το μέσο M της BC, στη συνέχεια το μέσο N της AM και ακολούθως το μέσο L της BN. Η προέκταση της AL τέμνει την BC στο σημείο S. Να αποδείξετε ότι: \displaystyle BS=\frac{1}{6}BC. )
υπολογισμός μήκους τμήματος με πολλούς τρόπους από Ανδρέα Πούλο
(Το ABC είναι ισόπλευρο τρίγωνο. Ονομάζουμε M, N τα μέσα των ημικυκλίων με διαμέτρους τις πλευρές AB, AC αντίστοιχα, τα οποία δεν έχουν άλλα κοινά σημεία με το τριγωνικό χωρίο εκτός από τις κορυφές του. Να εκφράσετε το μήκος MN συναρτήσει της πλευράς του ισοπλεύρου τριγώνου.)
ισόπλευρο τρίγωνο από τρία ισόπλευρα τρίγωνα (εδώ)
(Δίδονται σε κύκλο O,R τα τόξα των χορδών AB=\Gamma \Delta =E Z =R και K,\Lambda ,M τα μέσα των χορδών των τριών άνισων τόξων B\Gamma ,\Delta E,ZA. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο K\Lambda M είναι ισόπλευρο)
διαγώνιος (σε τετράπλευρο με 2 απέναντι γωνίες ορθές) από KARKAR
(Σε τετράπλευρο με \displaystyle{\widehat{A}=\widehat{B}=90^o} και \displaystyle{AB=AD}, αν AE \perp BC και \varepsilon \phi (\widehat{BDC}) =2 , βρείτε το μήκος της διαγωνίου BD.)
θεϊκή καθετότητα από KARKAR (1962) (εδώ)
(Από το μέσο \displaystyle{M} της βάσης \displaystyle{AC} ενός ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle{ABC} φέρουμε την κάθετο \displaystyle{MH} στην πλευρά \displaystyle{BC}. Το σημείο \displaystyle{P} είναι το μέσο του τμήματος \displaystyle{MH}. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{AH} είναι κάθετο στο \displaystyle{BP}.)
υπερδιχοτόμος (σε εγγεγραμμένο ορθογώνιο τρίγωνο) από KARKAR
(Ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC έχει υποτείνουσα τη διάμετρο BC ενός κύκλου , και κάθετες πλευρές με μήκη b και c . Η διχοτόμος της ορθής γωνίας τέμνει τον κύκλο στο S . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος AS .)
ίσα γινόμενα (σε σχήμα με εφαπτομένη κύκλου και 2 τεμνόμενες τέμνουσες) από KARKAR
(Δίνεται κύκλος διαμέτρου AB , η εφαπτομένη του στο B και δύο σημεία του C , D , ένα σε κάθε ημικύκλιο . Οι AC , AD τέμνουν την εφαπτομένη στα σημεία S , T αντίστοιχα . Δείξτε ότι : AC{\cdot}AS=AD{\cdot}AT)
3 συντρέχουσες τεμνόμενες χορδές, με γωνίες \displaystyle{60} από erxmer
(Από σημείο \displaystyle{P}εντός κύκλου φέρνουμε \displaystyle{3} χορδές που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνίες \displaystyle{60} μοιρών και τέμνουν τον κύκλο στα σημεία \displaystyle{A,B,C,D,E,Z} έτσι ώστε τα σημεία αυτά να βρίσκονται στον κύκλο με αυτή τη σειρά. Να αποδειχθεί ότι \displaystyle{PA + pC + PE = PB +PD +PZ})
διχοτόμος σε ορθογώνιο από Σπύρο Καρδαμίτση
(Σε ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma } φέρνουμε την διχοτόμο της ορθής γωνίας \displaystyle{{\rm A}\Delta }. Από το σημείο \displaystyle{\Delta } φέρνουμε την κάθετη στην υποτείνουσα που τέμνει την \displaystyle{{\rm A}\Gamma } στο σημείο \displaystyle{
{\rm E}}. Να δείξετε ότι \displaystyle{{\rm E}\Delta  = \Delta {\rm B}} )
Καρτέσιε , στη σειρά σου (λόγος σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο) από KARKAR
(Σε ορθογώνιο ABCD με διαστάσεις 2a\times a , το σημείο M είναι το μέσο της DC. Στην προέκταση της μικρότερης πλευράς BC , παίρνω σημείο S ώστε \displaystyle CS=\frac{a}{3} . Η SM τέμνει τη διαγώνιο DB στο T . Βρείτε το λόγο : \displaystyle\frac{DT}{TB} .)
δύσκολη μεγιστοποίηση (εμβαδού + Θεώρημα Σπασμένης Χορδής του Αρχιμήδη) από KARKAR
(Σημείο S κινείται επί του δεξιού μισού τόξου \overset{\frown}{AM} , ενός ημικυκλίου διαμέτρου AB .Φέρω το τμήμα MT\perp SB . 1) Να δειχθεί ότι : AS+ST=TB 2) Να βρεθεί η θέση του S , για την οποία μεγιστοποιείται το (AST) .)
απροσδόκητη παραλληλία (σε εγγεγραμμένο κύκλο τριγώνου) από KARKAR
(Ο έγκυκλος ενός τριγώνου \displaystyle ABC , εφάπτεται στις πλευρές a,b,c στα σημεία D,E,Z αντίστοιχα . Το τμήμα MN που συνδέει τα μέσα των c,b τέμνει το DE στο σημείο S . Δείξτε ότι : AS//ZD)
αναμενόμενη καθετότητα (σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο) από KARKAR
(Το τρίγωνο του σχήματος είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και τα K,L,M είναι τα μέσα των πλευρών του . Σημείο S βρίσκεται επί της KL , ώστε KS=2SL . Δείξτε ότι : SM\perp CK)
iσοχορδία (ισοσκελές τρίγωνο με ίσες πλευρές εφαπτόμενα τμήματα κύκλου) από KARKAR
(Ισοσκελές τρίγωνο , έχει βάση τη χορδή BC ενός κύκλου και ίσες πλευρές τα εφαπτόμενα τμήματα BA,CA . Η διάμεσος CM τέμνει τον κύκλο στο T , ενώ η AT επανατέμνει τον κύκλο στο S . Δείξτε ότι : BS=BC)
κάθετη στην διάμεσο (σε ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο) από Νίκο Φραγκάκη
(Σε ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο ABC(\hat A = {90^0}) , έστω P σημείο στην AB τέτοιο ώστε BP = 2PA .Αν T το σημείο τομής της διαμέσου BM με την CP , να δειχθεί ότι AT κάθετη στην BM .)
Hungarian 03 (εφαπτόμενο τμήμα σε κύκλο εγγεγραμμένο σε τετράγωνο) από Μιχάλη Νάννο
(Σε εγγεγραμμένο κύκλο εντός τετράγωνου ABCD το E είναι το μέσο της AB και τα σημεία F,\,G βρίσκονται επί των πλευρών BC,\,CD αντίστοιχα, έτσι ώστε EF//AG. Δείξτε ότι το τμήμα FG εφάπτεται του εγγεγραμμένου κύκλου του τετραγώνου. )
ένας ακόμη λόγος (σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο) από KARKAR
(Τα σημεία K,L,M είναι τα μέσα των κάθετων πλευρών AB,AC και της υποτείνουσας BC αντίστοιχα , του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC . Η κάθετη από το M προς τη διάμεσο BL τέμνει το τμήμα KL στο S . Υπολογίστε το λόγο \displaystyle \frac{KS}{KL} .)
ποικιλία λύσεων (διχοτόμος εντός τετραγώνου) από KARKAR
(Σε τετράγωνο \displaystyle ABCD , πλευράς a , το M είναι το μέσο της BC και το N σημείο της CD , ώστε : \displaystyle CN=\frac{a}{4} . Δείξτε ότι η AM είναι η διχοτόμος της \widehat{BAN} .)
διχοτόμοι σε (δισορθογώνιο) τραπέζιο από KARKAR
(Σε τραπέζιο \displaystyle{ABCD} (\displaystyle{AB//CD}) με \displaystyle{\widehat{A}= 90^o} είναι (AB)=9 και (CD)=4.Οι διχοτόμοι των γωνιών \hat{B},\hat{C} , , τέμνονται σε σημείο S της AD . Υπολογίστε το (AD) .)
διχοτόμος εξωτερικού από KARKAR
(Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , η διχοτόμος της ορθής γωνίας \hat{A} , τέμνει την BC στο T . Με κορυφή το T και μία πλευρά την TB , σχεδιάζω προς το εσωτερικό του τριγώνου γωνία 45^0 , της οποίας η άλλη πλευρά , τέμνει την προέκταση της CA στο S . Δείξτε ότι η ST είναι η διχοτόμος της γωνίας \widehat{ASB} .)
ανώτεροι λόγοι (σε ορθογώνιο τρίγωνο από ύψος και διχοτόμο) από KARKAR
(Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , (\hat{A}=90^0) , το ύψος AD τέμνει τη διχοτόμο BE στο S . Αν \displaystyle \frac{BS}{SE}=1 , βρείτε το λόγο \displaystyle \frac{BD}{DC} )
λόγος και απόσταση (σε ορθογώνιο) από KARKAR
(Στο ορθογώνιο ABCD , διαστάσεων a\times b , το M είναι είναι το μέσο της μεγαλύτερης πλευράς AB . Η CM τέμνει κάθετα τη διαγώνιο BD στο S . 1) Βρείτε το λόγο \displaystyle \frac{a}{b} ... 2) Υπολογίστε το τμήμα AS)
καλολογικά στοιχεία (σε εσωτερικά εφαπτόμενα ημικλυκλια) από KARKAR
(Σημείο C βρίσκεται πάνω στη διάμετρο AB ενός ημικυκλίου . Από το μέσο M του ημικυκλίου διαμέτρου AC , φέρω παράλληλη προς την AB , η οποία τέμνει το μεγάλο ημικύκλιο στο σημείο N . Αν \displaystyle \frac{CB}{MN}=\frac{1}{2} , βρείτε το λόγο : \displaystyle \frac{AC}{AB})
τετράγωνο και καθετότητα (σε τετράγωνο διχοτόμος και διάμεσος, τριπλάσιο μήκος) από Μπάμπη Στεργίου (εδώ)
(Δίνεται τετράγωνο ABCD , το μέσο E του AB και F σημείο του BC , ώστε BC=4BF.Να αποδείξετε ότι : 1) Το τρίγωνο EDF είναι ορθογώνιο, 2) Οι γωνίες EDA,EDF είναι ίσες.)
εναλλακτική εκφώνηση:
(Στην πλευρά CD τετραγώνου ABCD με πλευρά μήκους a , παίρνω σημείο S , ώστε \displaystyle CS=\frac{a}{4} . Να δείξετε ότι η διχοτόμος της \widehat{BAS} , διέρχεται από το μέσο της BC .)
μήκος διχοτόμου από KARKAR (εδώ)
(Σε τρίγωνο \displaystyle{ABC} με \displaystyle{\widehat{A}=90^o, AC=20, AB=30} , υπολογίστε το μήκος της διχοτόμου AD)
δια μέσου (πλευράς από κάθετη προέκτασης πλευράς τριγώνου στην διχοτόμο γωνίας) από Νίκο Φραγκάκη
(Από το μέσο D της πλευράς AB τριγώνου ABC , παίρνουμε πάνω σ’ αυτή τμήμα DE = \displaystyle\frac{{AC}}{2} , προς το μέρος του B .Από το E φέρνουμε κάθετο EZ προς την διχοτόμο της γωνίας \hat A . Να δειχθεί ότι η κάθετος αυτή τέμνει την πλευρά BC στο μέσο.)
άθροισμα αποστάσεων (σημείου σε πλευρά ορθογωνίου από διαγωνίους του είναι σταθερό) (εδώ)
(Δίνεται ορθογώνιο ABCD και P σημείο της AB . Αν PG,\;PF είναι οι αποστάσεις του P από τις διαγώνιους AC και BD αντίστοιχα και AZ η απόσταση του A από τηνBD , να δείξετε ότι PF + PG = AZ)
μια πλευρά ακόμη (σε εγγράψιμο τετράπλευρο) από KARKAR
(Σε εγγράψιμο τετράπλευρο \displaystyle{ABCD} είναι \displaystyle{\widehat{B}=120^o,AB=3,BC=4}. Να υπολογίσετε το \displaystyle{CD})
μετρική έκπληξη (με 3 ορθές) από KARKAR
(Σε τρίγωνο με πλευρές a,b,c φέραμε το ύψος AD και τα κάθετα προς τις AC,AB τμήματα DE,DZ . Υπολογίστε το τμήμα ZE . Τι παρατηρείτε ?)
τμήμα ίσο με την πλευρά σε τετράγωνο από Ηλία Καμπελή
(Δίνεται τετράγωνο ABCD και F το μέσο της BC . Αν AE \bot DF , να δείξετε ότι το τμήμα BE είναι ίσο με την πλευρά του τετραγώνου.)
εναλλακτική διατύπωση:
(Στο τετράγωνο ABCD πλευράς a , τα σημεία M , N είναι τα μέσα των πλευρών AB , AD αντίστοιχα. Οι BN , CM τέμνονται στο S . Δείξτε ότι : i) \widehat {ASN}=45^{o} , ii) DS=a)
πλευρές εκ γωνιών (\displaystyle{105-45-30}) από KARKAR
(Σε τρίγωνο \displaystyle{ABC} είναι \hat{A}=105^0 και \hat{B}=45^0 . Η διχοτόμος της \hat{C} τέμνει τη μεσοκάθετο της BC στο S . Δείξτε ότι : CS=AB )
διχοτόμος (ορθής) σε ορθογώνιο (τρίγωνο) από Γιώργο Μήτσιο
(Θεωρούμε τρίγωνο AB\Gamma με \hat{A}=90^{0} , A\Gamma =\beta , AB=\gamma και A\Delta διχοτόμος του. Να βρεθεί το μήκος της \delta _{\alpha }=A\Delta, σε σχέση με τα μήκη \beta  , \gamma των κάθετων πλευρών του τριγώνου )
ισόπλευρο και καθετότητα από Νίκο Φραγκάκη
(Έστω ισόπλευρο τρίγωνο ABC και τα σημεία D,E των πλευρών του BC,AB αντίστοιχα έτσι ώστε : \displaystyle\frac{{AE}}{{EB}} = \displaystyle\frac{5}{2}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\displaystyle\frac{{BD}}{{DC}} = \displaystyle\frac{1}{3} . Να δειχθεί ότι AD \bot CE .)
άθροισμα τμημάτων σε τετράγωνο από Ηλία Καμπελη
(Δίνεται τετράγωνο ABCD και K σημείο της πλευράς BC . Αν η διχοτόμος της γωνίας KAD τέμνει τη πλευρά CD στο σημείο M, να δείξετε ότι AK = DM + BK)
μεσοκάθετος που διέρχεται από το μέσον από Ηλία Καμπελή και KARKAR
(Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC \left( {AB = AC} \right) και P σημείο της βάσης BC. Αν PD \bot AB και PE \bot AC, να δείξετε ότι η μεσοκάθετος \varepsilon του τμήματος DE διέρχεται από το μέσο της BC και από το μέσο της AP)
καθετότητα (από τρίγωνα εκτός τριγώνου) από Γιάννη Μανίκα
(Έστω τρίγωνο AB\Gamma. Εξωτερικά του τριγώνου αυτού κατασκευάζουμε τα τρίγωνα \ KAB και \Lambda A \Gamma, ώστε AK=AB, A \Lambda=A\Gamma και \angle BAK= \angle \Gamma A \Lambda. Τα τμήματα B\Lambda, \Gamma K τέμνονται στο σημείο M. Έστω O το περίκεντρο του \triangle B\Gamma M. Να αποδειχτεί ότι AO \perp K\Lambda.)
γεωμετρικό θέμα (με διάμεσο και ίσα μήκη) από Σωτήρη Λουρίδα
(Έστω E,Z σημεία των πλευρών AB, AC τριγώνου ABC, τέτοια πού AE=AZ. Έστω F το σημείο τομής της διαμέσου AM με την ευθεία EZ.Αποδείξτε ότι: \displaystyle{\frac{{EF}}{{FZ}} = \frac{{AC}}{{AB}}.})
έχει λόγο η επαφή (τετράγωνου και κύκλου) από Νίκο Φραγκάκη
(Σε τετράγωνο ABCD μήκους πλευράς a τα σημεία E,Z των πλευρών AD,DC αντίστοιχα είναι τέτοια ώστε: DE = CZ = \displaystyle\frac{1}{3}a . Αν οι AZ,CE διασταυρώνονται στο S και οι AC,BS διασταυρώνονται στο T , να δειχθεί ότι η ευθεία EC εφάπτεται του κύκλου που περνά από τα B,T,C .)
είναι κάθετες (εντός τετραγώνου) από Νίκο Φραγκάκη
(Σε τετράγωνο ABCD θεωρούμε τυχαίο σημείο E της πλευράς AD . Αν η μεσοκάθετος στο EB τμήσει την διαγώνιο AC στο σημείο T , να δειχθεί ότι ET \bot TB)
διά μέσου (τεταρτοκύκλιο και ημικύκλιο σε τετράγωνο) από KARKAR
(Στο εσωτερικό τετραγώνου ABCD , σχεδιάζω ημικύκλιο διαμέτρου AD και τεταρτοκύκλιο (B\overset{\frown}{AC}) . Τα δύο τόξα τέμνονται στο σημείο S . Δείξτε ότι η ευθεία DS θα διέλθει από το μέσο M της BC )
παραλληλόγραμμο και καθετότητα (τριπλάσια πλευρά) από Μπάμπη Στεργίου
(Σε ένα παραλληλόγραμμο ABCD είναι \displaystyle{AB=3BC} . Η διχοτόμος της γωνίας D τέμνει την AB στο E .Αν O είναι το κέντρο του παραλληλογράμμου, να αποδεχθεί ότι : α) OE\bot DE β) Αν η ευθεία OE τέμνει την ευθεία DA στο Z , τότε AD=AZ .)


Με συντεταγμένες (εκτός συνόλου)
γωνία διανυσμάτων από Λευτέρη Πρωτοπαπα
(Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα \vec{a}=(\sqrt{3},1),\vec{b}=(-\sqrt{3},1).)
πολύτροπον από KARKAR
(Να βρεθούν , λοιπόν , οι συντεταγμένες της προβολής του A (6,2) πάνω στην ευθεία y=2x .)


Υ.Γ. Αν πετύχετε πουθενά αλλού καμία από τις παραπάνω ασκήσεις, στείλτε μου μήνυμα να συμπληρώσω την παραπομπή.





Υ.Γ. από εδώ
Γιώργος Ρίζος έγραψε:Υ.Γ. Απαντώντας και σε φιλική συζήτηση με συνάδελφο, που μάς παρακολουθεί, ο οποίος εξέφρασε την εκτίμηση ότι το 70% των θεμάτων και των λύσεων του mathematica δεν μπορεί να εφαρμοστεί στην τάξη.
Πέρα από το ότι το :logo: δεν παίζει το ρόλο του σχολικού συμπληρώματος, αλλά ξανοίγεται και σε πάμπολλα άλλα θέματα, προσθέτω τα εξής:
Στους φακέλους με ονομασία Μαθηματικά Γυμνασίου-Λυκείου συνήθως δεν ασχολούμαστε με τελείως τετριμμένα θέματα. Το Γιατί είναι ευνόητο και το έχουμε παλαιότερα αναλύσει.
Πολλές φορές προσεγγίζουμε θέματα με πολλούς τρόπους.
Εννοείται ότι δεν μεταφέρουμε στις τάξεις μας όλες τις μεθόδους και τις λύσεις που αναρτούμε εδώ!
Κάνουμε μάθημα "κανονικό", συντονισμένο με τις δυνατότητες και τις ανάγκες της τάξης.
Το :logo: είναι και χώρος πειραματισμού, φαντασίας, ανταλλαγής μεθόδων κι εμπλουτισμού των γνώσεων μας.
Προφανώς, λοιπόν, στην τάξη θα προτιμήσω τις λύσεις των φίλων παραπάνω κι όχι την τελευταία. Όμως, αν βρω μαθητή πρόθυμο να ψάξει παραπάνω, θα του δώσω να πειραματιστεί και με κάτι διαφορετικό...


για τους λάτρεις της Γεωμετρίας


Επιστροφή σε “Ευρετήρια θεμάτων mathematica.gr”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες