Ανισότητα σε κυρτό τετράπλευρο

#1

Θεωρούμε κυρτό τετράπλευρο με αντιωρολογιακά διατεταγμένες κορυφές (-1,0)

,

. Να δειχθεί ότι ps-qr<0

.

Γιώργος Μπαλόγλου

#2

Γεια σου Γιώργο.

Υποθέτω ότι λέγοντας αντιωρολογιακά εννοείς το anticlockwise, ωστόσο δεν είμαι σίγουρος κατά πόσο είναι δόκιμος αυτός ο όρος.

Είναι

$\displaystyle{2(ACD)=\begin{vmatrix} p & q & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ r & s & 1 \end{vmatrix}=rq-sp+q-s}$

και

$\displaystyle{2(BCD)=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ r & s & 1 \\ p & q & 1 \end{vmatrix}=rq-sp+s-q.}$

Επειδή

$\displaystyle{(ACD)>0, (BCD)>0}$ προκύπτει το ζητούμενο.

#3

matha έγραψε:Γεια σου Γιώργο.

Υποθέτω ότι λέγοντας αντιωρολογιακά εννοείς το anticlockwise, ωστόσο δεν είμαι σίγουρος κατά πόσο είναι δόκιμος αυτός ο όρος.

Aν δεν είναι δόκιμος ... να τον δοκιμάσουμε; Που να λέμε τώρα "κατά φορά αντίθετη των δεικτών του ωρολογίου"!

[Προ δεκαπενταετίας μου είχε επισημάνει κάποιος, όχι μαθηματικός, ότι θα έρθει η μέρα που οι μαθητές δεν θα είναι σε θέση να κατανοήσουν τον σχετικό όρο ... λόγω φηφιακών κλπ ωρολογίων...]

Είναι

$\displaystyle{2(ACD)=\begin{vmatrix} p & q & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ r & s & 1 \end{vmatrix}=rq-sp+q-s}$

και

$\displaystyle{2(BCD)=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ r & s & 1 \\ p & q & 1 \end{vmatrix}=rq-sp+s-q.}$

Επειδή

$\displaystyle{(ACD)>0, (BCD)>0}$ προκύπτει το ζητούμενο.

Θάνο ευχαριστώ που ασχολήθηκες, αυτή ήταν και η δική μου προσέγγιση. Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι η γνώση του προσανατολισμού των τριών σημείων κάνει αχρείαστη την απόλυτη τιμή στην ορίζουσα-εμβαδόν! Στα πλαίσια αυτά επισημαίνω και το εξής:

Αν τα μη συνευθειακά σημεία P, Q, R

είναι αντιωρολογιακά διατεταγμένα, με ax+by-c=0

να είναι η εξίσωση της

και

να είναι οι συντεταγμένες του

, τότε ισχύει -- ως ισοδύναμη προς την (PQR)>0

-- η

.

Δυστυχώς υπάρχει λάθος (στην αμέσως προηγούμενη παράγραφο και μόνον), δείτε επόμενη ανάρτηση...

Γιώργος Μπαλόγλου

#4

gbaloglou έγραψε:Αν τα μη συνευθειακά σημεία είναι αντιωρολογιακά διατεταγμένα, με να είναι η εξίσωση της και να είναι οι συντεταγμένες του , τότε ισχύει -- ως ισοδύναμη προς την -- η .

Εδώ έχω κάνει ... ένα απίστευτο λάθος: η ax+by-c=0

μπορεί να γραφεί ΚΑΙ ως (-a)x+(-b)y-(-c)=0

... οπότε, αν δεχτούμε τα παραπάνω, ισχύει ΚΑΙ η (-)ar_1+(-b)r_2-(-c)<0

, δηλαδή η ar_1+br_2-c>0

[Θα μπορούσα απλώς να το σβήσω μια και πέρασε απαρατήρητο, και δεν χρειαζόταν και για κάτι άλλο, προτιμώ όμως να το αφήσω και γιατί είναι χαριτωμένο και για να μαθαίνουμε από τα λάθη μας...]

Γιώργος Μπαλόγλου

Ανισότητα σε κυρτό τετράπλευρο

Ανισότητα σε κυρτό τετράπλευρο

Re: Ανισότητα σε κυρτό τετράπλευρο

Re: Ανισότητα σε κυρτό τετράπλευρο

Re: Ανισότητα σε κυρτό τετράπλευρο

Μέλη σε σύνδεση