Γεωμετρικός τόπος του Fuss

#1

: Fuss.png (9.97 KiB) Προβλήθηκε 916 φορές

Στο εσωτερικό ενός κύκλου (O, R)

δίνεται ένα σταθερό σημείο

. Τα σημεία B, C

κινούνται πάνω στον κύκλο, έτσι ώστε $\hat{BAC}=90^0$ . Αν οι εφαπτόμενες του κύκλου στα B, C

τέμνονται στο

, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του

.

sakis1963 · #2

Καλημέρα,

αν η ακτίνα του κύκλου

είναι

και η απόσταση του σημείου

από το κέντρο του είναι OA=r

ο γ.τ. του

είναι κύκλος με κέντρο

επί της προέκτασης της

προς το

και σε απόσταση $OK=\dfrac{rR^2}{R^2-r^2}$ και ακτίνα $R_M= \dfrac{R^2 \sqrt{2R^2-r^2} }{R^2-r^2}$

Επειδή είχε πολλές πράξεις

(ίσως να πήρα δύσκολο δρόμο) τις αφήνω για αύριο.

Φιλικά Σάκης

#3

george visvikis έγραψε:
Το συνημμένο Fuss.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο εσωτερικό ενός κύκλου δίνεται ένα σταθερό σημείο . Τα σημεία κινούνται πάνω στον κύκλο, έτσι ώστε $\hat{BAC}=90^0$ . Αν οι εφαπτόμενες του κύκλου στα τέμνονται στο , να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του .

Καλημέρα σε όλους.

Με κάποιες επιφυλάξεις λόγω τρεχουσών υποχρεώσεων στο σχολείο .

: Γεωμετρικός τόπος του Fuss.png (32.23 KiB) Προβλήθηκε 851 φορές

Αν

,

η ακτίνα του κύκλου και L,N

τα μέσα των OA,BC

.

Μπορούμε να δείξουμε ( γνωστή άσκηση ) ότι το

διαγράφει

κύκλο: $\boxed{(L) \to (L,\frac{{\sqrt {2{R^2} - {d^2}} }}{2})}$ .

Η αντιστροφή με πόλο το

του κύκλου (L)

και δύναμη αντιστροφής ${R^2}$ δίδει τον ζητούμενο γεωμετρικό τόπο .

Σ αυτήν την αντιστροφή κύκλος αντιστροφής είναι ο (O,R)

.

Φιλικά Νίκος

Al.Koutsouridis · #4

Καλησπέρα,

Μια προσπάθεια μάλλον ημιτελής.

: Screen Shot 2015-03-16 at 23.18.08.png (39.62 KiB) Προβλήθηκε 796 φορές

Προεκτύνουμε τα τμήματα AB, AC

και έστω ότι τέμνουν τον κύκλο (O,R)

στα σημεία D,E

. Από τα σημεία
B,C,D,E

φαίρνουμε τις εφαπτομένες προς αυτόν τον κύκλο οι οποίες σχηματίζουν το τετράπλευρο MKLN

. Για το τετράπλευρο αυτό και για τις γωνίες του όπως φαίνονται στο σχήμα έχουμε:

M + 90^0 + n_2 + m_1 = 360^0

(1)

(2)

(3)

(4)

Προσθέτοντας τις (1) και (3) κατά μέλη έχουμε

$M+L + 180^0 + n_2 + m_1 + k_2 + l_1 = 2 \cdot 360^0$

Η κάθε μία από τις γωνίες n_2, m_1, k_2, l_1

από το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης ισουται με μία από τις εγγεγραμμένες γωνίες του εγγεγραμένου τετραπλεύρου BCDE

. Έτσι το αθροισμά τους είναι ίσο με 360^0

. Eπομένως M+L = 180^0

και το

είναι εγγράψιμο.

Υπάρχουν δηλαδή δύο κύκλοι στο επίπεδο και τετράπλευρο που είναι εγγράξιμο στον έναν και περιγγράψιμο στον άλλον. Από το θεώρημα Poncelet όμως υπάρχουν άπειρα τέτοια τετράπλευρα και κάθε σημείο

του περιγγεγραμμένου κύκλου του MKLN

μπορεί να θεωρηθεί κορυφή του. Οπότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι αυτός ο κύκλος.

#5

Καλό μεσημέρι σε όλους.

Αφού ευχαριστήσω το Σάκη, το Νίκο και τον Αλέξανδρο, για τις απαντήσεις τους, να πω λίγα λόγια για την ιστορία.
Αλλάζω λίγο τα γράμματα. Βάζω (I,r)

τον αρχικό κύκλο, (O,R)

τον κύκλο του γεωμετρικού τόπου και θέτω AI=m, OI=d

. Όπως φαίνεται και από την προσέγγιση του Αλέξανδρου (που δεν είναι καθόλου ημιτελής, απλώς δεν δίνει κέντρο και ακτίνα του κύκλου), το τετράπλευρο MKLN

είναι αμφιγράψιμο.

: Fuss.II.png (18.43 KiB) Προβλήθηκε 757 φορές

Ο Nicolaus Fuss(1755-1826), μαθητής και φίλος του Leonhard Euler, στην προσπάθειά του να βρει μία σχέση που να συνδέει την απόσταση έγκεντρου-περίκεντρου ενός αμφιγράψιμου τετραπλεύρου με τις αντίστοιχες ακτίνες τους, έθεσε ως Λήμμα, αυτό το πρόβλημα του γεωμετρικού τόπου και βρήκε τις σχέσεις που έγραψε πιο πάνω ο Σάκης. Συγκεκριμένα απέδειξε ότι ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο

που ανήκει στην ευθεία

(τα σημεία A, O

εκατέρωθεν του

), σε απόσταση $\displaystyle{OI = d = \frac{{{r^2}m}}{{{r^2} - {m^2}}}}$ και έχει ακτίνα $\displaystyle{R = \frac{{{r^2}\sqrt {2{r^2} - {m^2}} }}{{{r^2} - {m^2}}}}$ . Στη συνέχεια, με απαλοιφή του

, κατέληξε στον γνωστό τύπο:

$\boxed{\frac{1}{{{r^2}}} = \frac{1}{{{{(R + d)}^2}}} + \frac{1}{{{{(R - d)}^2}}}}$

Για όποιον ενδιαφέρεται, η απόδειξη του Fuss στο πρόβλημά του, βρίσκεται εδώ

sakis1963 · #6

Καλησπέρα,
ευτυχώς ο Γιώργος με το link στο τελευταίο του post, με απάλλαξε απ' την πληκτρολόγηση τουλάχιστον 2 σελίδων πράξεων για τη λύση αυτού του ωραίου 'τόπου'.
Επίσης με τις ιστορικές του αναφορές με έκανε να αισθανθώ λίγο "αρχαιολόγος" για τη 1 ωρα τουλάχιστον που ασχολήθηκα για να εξαχθούν οι παραπάνω τύποι.

Νά 'σε καλά Γιώργο.

Γεωμετρικός τόπος του Fuss

Γεωμετρικός τόπος του Fuss

Re: Γεωμετρικός τόπος του Fuss

Re: Γεωμετρικός τόπος του Fuss

Re: Γεωμετρικός τόπος του Fuss

Re: Γεωμετρικός τόπος του Fuss

Re: Γεωμετρικός τόπος του Fuss

Μέλη σε σύνδεση