Σύνθεση στροφών

#1

Επειδή είναι ωραίο να ανταλάσσεις προβληματισμούς, όσο απλοί και να είναι. :

Θέλω να εξακριβώσω αν οι στροφές A_a,B_b

με κέντρα

και γωνίες a,b

αντίστοιχα, αντιμετατίθενται ή όχι . Ή με το geogebra ή με άλλο τρόπο,

ας το εξετάσει κάποιος, αν ξεκλέψει λίγο χρόνο. Συγκλίνω στο όχι, αλλά δείτε το και εσείς.

Σας ευχαριστώ

#2

Έστω

οι δύο μετασχηματισμοί. Έχουμε fg(B) = f(B)

αφού η

διατηρεί το

σταθερό. Αν οι δυο μετασχηματισμοί αντιμετατίθενται τότε θα έχουμε και g(f(B)) = f(B)

. Δηλαδή η

θα διατηρεί και το f(B)

σταθερό.

Αυτό όμως μπορεί να συμβαίνει μόνο σε δύο περιπτώσεις:
1) Η

είναι ταυτοτική συνάρτηση. (Στροφή κατά 0 μοίρες.)
2) f(B) = B

.

Στην δεύτερη περίπτωση πάλι μπορούμε να διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:
2.1) η

είναι ταυτοτική
2.2) A=B

.

Δηλαδή για να αντιμετατίθενται πρέπει η μία τουλάχιστον να είναι σταθερή ή τα κέντρα περιστροφής να είναι ίσα. Είναι προφανές ότι σε αυτές τις περιπτώσεις οι μετασχηματισμοί όντως αντιμετατίθενται.

#3

Πολύ ωραία !

Δημήτρη σε ευχαριστώ πολύ . Δεν μένει παρά να φτιάξω ένα παράδειγμα με το geo για να είναι και εποπτικά κατανοητό.

Μπ.

#4

Μία γεωμετρική ματιά στην σύνθεση στροφών (σχήμα 7.15 από Isometrica, που χαρακτηρίζω εκεί ως "το σημαντικότερο ίσως ολόκληρου του βιβλίου"): οι δύο στροφές (κατά γωνίες $\phi _1<\phi _2$ ) γράφονται ως σύνθεση/τομή δύο ανακλάσεων/ευθειών (που τέμνονται κατά γωνίες $\phi _1/2$ , $\phi _2/2$ ), οπότε, παίρνοντας ως 'μεσαία' ευθεία/ανάκλαση αυτήν που συνδέει τα δύο κέντρα (Α, Β), καταλήγουμε (λαμβάνοντας υπ όψιν όλους τους δυνατούς συνδυασμούς φοράς γωνιών και σειράς στροφών) σε 8 περιπτώσεις, 4 κέντρα στροφών (C, D, E, F) και 2 γωνίες (μέτρων $\phi _1+\phi _2$ , $2\phi _2-\phi _1$ ). [Ίδια μέθοδος και στην σύνθεση στροφών στον χώρο εδώ.]

Γιώργος Μπαλόγλου

#5

Μπάμπη παραθέτω ένα σχήμα από το geogebra όπου φαίνεται αυτό που
είπε ο Δημήτρης.
Ακόμα παραθέτω και το δυναμικό σχήμα όπου μπορεί κανείς να παρατηρήσει
τις περιπτώσεις εκείνες που εντόπισε ο Δημήτρης κατά τις οποίες η σύνθεση
δύο στροφών $\displaystyle{(A,a), \ \ (B,\beta)}$ είναι αντιμεταθετική.

: Σύνθεση στροφών.png (26.05 KiB) Προβλήθηκε 1080 φορές

Στροφές 1.ggb: (12.94 KiB) Μεταφορτώθηκε 20 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#6

Οι δύο στροφές του Κώστα αντιστοιχούν -- αναφορά στο σχήμα της προηγούμενης δημοσίευσης μου -- στους συνδυασμούς R_B^+*R_A^+

(κέντρο

στο συνημμένο επεξεργασμένο σχήμα του Κώστα) και R_A^+*R_B^+

(κέντρο

στο συνημμένο), δηλαδή: θετική (αντιωρολογιακή) στροφή κατά γωνία $\alpha$ περί το

ακολουθούμενη από θετική στροφή κατά γωνία $\beta$ περί το

και θετική στροφή κατά γωνία $\beta$ περί το

ακολουθούμενη από θετική στροφή κατά γωνία $\alpha$ περί το

. Στο συνημμένο σχήμα μου δείχνω και πως βρίσκουμε τα δύο 'εσωτερικά' κέντρα στροφής ακολουθώντας το σχήμα που παρέθεσα στην προηγούμενη δημοσίευση μου και την ανάλυση κάθε στροφής σε δύο τεμνόμενες ανακλάσεις: αν ασχοληθούμε και με αρνητικά προσανατολισμένες στροφές τότε προκύπτουν δύο ακόμη 'εξωτερικά' κέντρα στροφής (εκτός περιθωρίου σχήματος μάλλον). [Δεν εγγυώμαι την ακρίβεια του σχήματος, καθώς όλα είναι ζωγραφισμένα με το μάτι στην Ζωγραφική του υπολογιστή.]

Γιώργος Μπαλόγλου

#7

Πολύ ωραία !

Αυφού αυτό το θέμα το καλύψαμε, πάμε τώρα σε δύο ερωτήματα :

α ) Πώς βρίσκουμε το κέντρο της στροφής του γινομένου δύο στροφών A_a,B_b

αν $a+b\neq 0(mod 2\pi)$ ;

β) Πώς βρίσκουμε τη μεταφορά(διεύθυνση και μήκος) της παραπάνω σύνθεσης, αν $a+b = 0(mod 2\pi)$ ;

Θα παρακαλούσα να βρούμε και τις εναλλακτικές , αν υπάρχουν , απαντήσεις σε αυτά τα ερωτήματα. Μετά από αυτά θα συλλέξουμε τα πιο κλασικά προβλήματα που λύνονται με στροφή ή ομοιότητες , όπως πχ το Θεώρημα του Nαπολέοντα κλπ. Έχω την υποψία ότι η στροφή είναι δύσκολη μέθοδος στην λύση προβλημάτων, μια και τα δύσκολα προβλήματα απαιτούν σύνθεση στροφών. Αλλά η εύρεση του κέντρου έχει δυσκολίες.

Θα τα δούμε όμως όλα αυτά στα προβλήματα που θα ακολουθήσουν.

Μπ

#8

Μπάμπη νομίζω ότι τα σχήματα που παρέθεσα απαντούν -- γεωμετρικά, όχι υπολογιστικά -- στα ερωτήματα σου. Ειδικά όσον αφορά το δεύτερο ερώτημα, δες τις εκτός περιθωρίου τεμνόμενες (πορτοκαλί) γραμμές/ανακλάσεις στο επεξεργασμένο σχήμα του Κώστα: αν οι δύο γωνίες στροφής είχαν ίσα μέτρα -- οπότε με αντίθετο προσανατολισμό θα είχαν άθροισμα μηδέν -- τότε οι γραμμές/ανακλάσεις αυτές θα ήταν παράλληλες ... και η σύνθεση δύο παράλληλων ανακλάσεων είναι μεταφορά κάθετη προς αυτές με μήκος διανύσματος διπλάσιο της απόστασης ανάμεσα στις δύο ανακλάσεις (εύκολη γεωμετρική απόδειξη). [Επισυνάπτω σχετικά και το σχήμα 7.16 (Isometrica).]

Γιώργος Μπαλόγλου

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

Μπάμπη και Γιώργο γειά.
Θεωρώ ότι το καταλληλότερο μοντέλο του επιπέδου για να μελετήσουμε
τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς είναι οι μιγαδικοί.
Εξάλλου εκεί υπάρχουν οι μετασχηματισμοί Mobius
που στην ουσία είναι οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί.

#10

Ο Γιώργος έχει καλύψει το πως βρίσκουμε γεωμετρικά το κέντρο της στροφής. Να προσθέσω ότι για να επιλέξουμε μεταξύ των τεσσάρων κέντρων χρησιμοποιούμε ότι η σύνθεση δύο ανακλάσεων σε ευθείες που τέμνονται σε σημείο

σχηματίζοντας γωνία $\varphi$ είναι στροφή κατά γωνία $2\varphi$ γύρω από το σημείο

(όπως έχει ήδη αναφέρει ο Γιώργος) με φορά αντιωρολογιακή από την πρώτη ευθεία στην δεύτερη.

Το μιγαδικό μοντέλο που προτείνει ο Σταύρος είναι όντως αρκετά χρήσιμο. Έχουμε τα εξής:

- Ο μετασχηματισμός $z \mapsto z+c$ είναι μετάθεση κατά

.

- Ο μετασχηματισμός $z \mapsto e^{i\vartheta}z + c$ (για $\vartheta \neq 2n\pi$ με $n \in \mathbb{Z}$ ) είναι στροφή γωνίας $\vartheta$ . Για το κέντρο λύνουμε την $z = e^{i\vartheta}z + c$ για να βρούμε το μοναδικό σταθερό σημείο του μετασχηματισμού. Είναι το $c/(1-e^{i\vartheta})$ .

- Ο μετασχηματισμός $z \mapsto e^{i\vartheta}\overline{z} + c$ είναι είτε ανάκλαση είτε ολισθανάκλαση (glide reflection). Για να αποφασίσουμε ποιο από το δύο είναι, εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό δύο φορές και ελέγχουμε αν το αποτέλεσμα είναι η ταυτοτική συνάρτηση. Αν ναι τότε είναι ανάκλαση, αν όχι τότε είναι ολισθανάκλαση. Το αποτέλεσμα είναι ότι ο μετασχηματισμός είναι ανάκλαση αν και μόνο αν $c + e^{i\vartheta}\overline{c} = 0$ . Τον άξονα της ανάκλασης μπορούμε να τον βρούμε παρατηρώντας ότι και στις δύο περιπτώσεις για κάθε

το σημείο

ανήκει στον άξονα. Οπότε βρίσκουμε δυο διαφορετικά σημεία του άξονα και η ευθεία που περνάει από αυτά τα σημεία είναι ο άξονας.

Επιπλέον κάθε ισομετρία μπορεί να γραφτεί σε μια από τις πιο πάνω μορφές.

#11

Παραθέτω την κατασκευή του κέντρου της στροφής που είναι το αποτέλεσμα
της σύνθεσης δύο στροφών (ή και περισσοτέρων).

: Στροφές 2.png (24.52 KiB) Προβλήθηκε 939 φορές

Στο ανωτέρω σχήμα φαίνεται το τμήμα $\displaystyle{MN}$ το οποίο οδηγήθηκε με τις δύο στροφές
$\displaystyle{A(a), B(b)}$ στη θέση $\displaystyle{M_1N_1}$ και τελικά στη θέση $\displaystyle{M_2N_2}$ .

Η στροφή που θα οδηγήσει το τμήμα $\displaystyle{MN}$ στην ίδια τελική θέση έχει κέντρο
το σημείο τομής των μεσοκαθέτων $\displaystyle{d_1,d_2}$ των τμημάτων $\displaystyle{MM_2,NN_2}$ αντίστοιχα
και γωνία ίση με $\displaystyle{a+b}$ .

Ο κανόνας αυτός γενικεύεται και σε $\displaystyle{n}$ στροφές.

Δείτε το και σε δυναμικό σχήμα.

Στροφές 2.ggb: (13.56 KiB) Μεταφορτώθηκε 17 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#12

Κώστα η μέθοδος των μεσοκαθέτων είναι αναγκαία όταν πχ θέλουμε να βρούμε την στροφή ανάμεσα σε δύο 'ομόστροφα' ισοδύναμα σχήματα, παραδείγματα δίνω και στο τρίτο κεφάλαιο του βιβλίου μου και, Ελληνιστί, στο άρθρο μου Στροφή στην Ολισθανάκλαση; Όταν η στροφή είναι γινόμενο δύο γνωστών στροφών τότε είναι πιο εύκολο να βρούμε το κέντρο όπως έδειξα παραπάνω.

Γιώργος Μπαλόγλου

#13

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Μπάμπη και Γιώργο γειά.
Θεωρώ ότι το καταλληλότερο μοντέλο του επιπέδου για να μελετήσουμε
τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς είναι οι μιγαδικοί.
Εξάλλου εκεί υπάρχουν οι μετασχηματισμοί Mobius
που στην ουσία είναι οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί.

Σταύρο η στοιχειώδης/γεωμετρική προσέγγιση έχει το προνόμιο της 'εσωτερικότητας': απαντάμε ένα ερώτημα εντός ενός πεδίου χωρίς να βγούμε από το πεδίο. Την προσέγγιση με μιγαδικούς την κάλυψε ο Δημήτρης, για μια παρόμοια, φαινομενονικά διαφορετική, προσέγγιση παραπέμπω στην ενότητα 1.5.3 (βλέπε συνημμένο) του βιβλίου μου, όπου υπολογίζω το κέντρο/γωνία στροφής ή τον άξονα/διάνυσμα (ολισθ)ανάκλασης για μια ισομετρία της μορφής F(x, y)=(a'+b'x+c'y, d'+e'x+f'y)

... συναρτήσει των a', b', c', d', e', f'

(όπου

).

Γιώργος Μπαλόγλου

#14

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Πολύ ωραία !

Αυφού αυτό το θέμα το καλύψαμε, πάμε τώρα σε δύο ερωτήματα :

α ) Πώς βρίσκουμε το κέντρο της στροφής του γινομένου δύο στροφών αν $a+b\neq 0(mod 2\pi)$ ;

β) Πώς βρίσκουμε τη μεταφορά(διεύθυνση και μήκος) της παραπάνω σύνθεσης, αν $a+b = 0(mod 2\pi)$ ;

Θα παρακαλούσα να βρούμε και τις εναλλακτικές , αν υπάρχουν , απαντήσεις σε αυτά τα ερωτήματα. Μετά από αυτά θα συλλέξουμε τα πιο κλασικά προβλήματα που λύνονται με στροφή ή ομοιότητες , όπως πχ το Θεώρημα του Nαπολέοντα κλπ. Έχω την υποψία ότι η στροφή είναι δύσκολη μέθοδος στην λύση προβλημάτων, μια και τα δύσκολα προβλήματα απαιτούν σύνθεση στροφών. Αλλά η εύρεση του κέντρου έχει δυσκολίες.

Θα τα δούμε όμως όλα αυτά στα προβλήματα που θα ακολουθήσουν.

Μπ

Καλησπέρα στην παρέα.
Μπάμπη το πρώτο ερώτημά σου νομίζω απαντήθηκε. Η δεύτερη ανάρτησή μου δείχνει έναν
απλό τρόπο εύρεσης της σύνθεσης δύο στροφών με αθροισμα γωνιών διάφορο της πλήρους γωνίας.
Για το δεύτερο σκεφτόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Στροφή και στροφή =μεταφορά 1.png (31.61 KiB) Προβλήθηκε 850 φορές

Στο σχήμα αυτό το τυχαίο τμήμα $\displaystyle{MN}$ στράφηκε περί το $\displaystyle{A}$ κατά γωνία $\displaystyle{a}$ και στη συνέχεια
περί το $\displaystyle{B}$ κατά γωνία $\displaystyle{b}$ έτσι ώστε:

$\displaystyle{a+b=2\pi \ \ (1)}$

Θα μπορούσε να ισχυριστεί κανείς ότι το τμήμα αυτό αφού περιστράφηκε κατά γωνία συνολικού μέτρου ίσο με 360 μοίρες άρα
η τελική του θέση $\displaystyle{M''N''}$ θα είναι παράλληλη με την αρχική και βέβαια ίσου μέτρου και του ίδιου προσανατολισμού.
Αυτό όμως μπορεί να δειχθεί και με την ακόλουθη συλλογιστική:
Τα τετράπλευρα $\displaystyle{AMTM'}$ και $\displaystyle{M'BM''S}$ είναι προφανώς εγγράψιμα(λόγω της (1)), άρα

$\displaystyle{\hat{NTN'}=\hat{TSx}=a\ \ (2)}$

άρα

$\displaystyle{MN//M''N''}$

Επίσης οι γωνίες $\displaystyle{C_1,C_2}$ ως εγγεγραμμένες ικανοποιούν τη σχέση:

$\displaystyle{\hat{C_1}+\hat{C_2}=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}=\pi \ \ (3)}$

Από την (3) προκύπτει ότι τα σημεία $\displaystyle{M,C,M''}$ είναι συνευθεικά.
Έτσι το διάνυσμα που ορίζει τη μεταφορά του $\displaystyle{MN}$ στη θέση $\displaystyle{M''N''}$ είναι αυτό που ορίζεται από το
προσανατολισμένο τμήμα $\displaystyle{MM''}$ .

Υπολογισμός του $\displaystyle{MM''}$
Εφαρμόζουμε το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο $\displaystyle{MM''B}$ . Άρα:

$\displaystyle{(MM'')=\sqrt{BM^2+BM''^2-2(BM)(BM'')cos(MBM'')}}$

και μετά από πράξεις έχουμε:

$\displaystyle{(MM'')=\sqrt{(R_2+2R_1sin\frac{a}{2})^2+R^2_2-2(R_2+2R_1sin\frac{a}{2})R_2cosa}}$

όπου $\displaystyle{R_1, R_2}$ οι ακτίνες των κύκλων επί των οποίων στρέφεται το σημείο $\displaystyle{M}$ .

Κώστας Δόρτσιος

Σύνθεση στροφών

Σύνθεση στροφών

Re: Σύνθεση στροφών

Re: Σύνθεση στροφών

Re: Σύνθεση στροφών

Re: Σύνθεση στροφών

Re: Σύνθεση στροφών

Re: Σύνθεση στροφών

Re: Σύνθεση στροφών

Re: Σύνθεση στροφών

Re: Σύνθεση στροφών

Re: Σύνθεση στροφών

Re: Σύνθεση στροφών

Re: Σύνθεση στροφών

Re: Σύνθεση στροφών

Μέλη σε σύνδεση