Γεωμετρία ή Φυσική

sakis1963 · #1

: Γεωμετρία ή Φυσική.png (21.86 KiB) Προβλήθηκε 1051 φορές

Καλησπέρα,
κάπου βρήκα το παρακάτω θέμα,
μου άρεσε και το βάζω για συζήτηση λίγο παραλλαγμένο.

Σημείο κινείται με σταθερή κατά μέτρο ταχύτητα

σε κλειστή, κυρτή τροχιά (καμπυλόγραμμη).
α. Αν η αρχή του διανύσματος της ταχύτητας είναι "πάνω" στο σημείο, το πέρας του διαγράφει κλειστή, κυρτή καμπύλη πάντα;
β. Μπορεί να υπολογιστεί το εμβαδόν μεταξύ των δύο καμπυλόγραμμων τροχιών;

υ.γ. την αρχική συνθήκη της κυρτότητας της τροχιάς την έθεσα μόνος μου (νομίζω σωστά) για να διασφαλιστεί ότι το πέρας του διανύσματος της ταχύτητας δεν περνά ποτέ στο εσωτερικό της τροχιάς του σημείου.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Ας γράψουμε το πρόβλημα σε μαθηματική γλώσσα.

Δίνεται μια επίπεδη κλειστή καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας που είναι κυρτή.

Δηλαδή $a:[0,l]\rightarrow \mathbb{R}^{2}$

$a(s)=(x(s),y(s)),(x'(s))^{2}+(y'(s))^{2}=1$

Θέλουμε να εξετάσουμε αν η καμπύλη $b:[0,l]\rightarrow \mathbb{R}^{2}$

με b(s)=a(s)+a'(s)=(x(s)+x'(s),y(s)+y'(s))

είναι κυρτή.

Ισχύει ότι μια κλειστή καμπύλη είναι κυρτή αν και μόνο αν η καμπυλότητα της έχει σταθερό πρόσημο.

Ετσι έχουμε ότι x'y''-x''y'> 0

(στα παρακάτω παραλείπω το

από τις συναρτήσεις)

και θέλουμε το $\dfrac{(x+x')'(y+y')''-(y+y')'(x+x')''}{()^{\frac{3}{2}}}> 0$

και κάνοντας τις πράξεις ότι

x'y''-y'x''+x'y'''-y'x'''+x''y'''-y''x'''> 0

Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μια καμπύλη έχει την ιδιότητα.
Να σημειώσω ότι τα παραπάνω μπορούμε να τα κάνουμε σε καμπύλη με τυχαία παράμετρο.
Τότε οι τύποι γίνονται πιο πολύπλοκοι.

Γιώργο αν θες γράψε την αποψη σου.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Για το b νομίζω ότι τα πράγματα είναι απλά.(το είχα ξεχάσει)
Με τον τύπο του Green είναι.
Το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από μια απλή κλειστή
καμπύλη $\gamma$
είναι

$E=\frac{1}{2}\oint _{\gamma }-ydx+xdy$

Αν γνωρίζουμε την αρχική καμπύλη αρκεί να κάνουμε μια αφαίρεση.
Το εμβαδό δεν έχει σχέση αν η καμπύλη που δημιουργείται είναι κυρτή.

Γεωμετρία ή Φυσική

Γεωμετρία ή Φυσική

Re: Γεωμετρία ή Φυσική

Re: Γεωμετρία ή Φυσική

Μέλη σε σύνδεση