Δύο τρίγωνα κι ένα τετράγωνο

KARKAR · #1

: Δύο τρίγωνα κι ένα τετράγωνο.png (11.45 KiB) Προβλήθηκε 955 φορές

Με βάσεις τις τρεις πλευρές τριγώνου $\displaystyle ABC$ , εγγεγραμμένου σε κύκλο

ακτίνας

, σχεδιάζουμε δύο ισόπλευρα τρίγωνα κι ένα τετράγωνο .

Αναζητούμε το μέγιστο του αθροίσματος των τριών εμβαδών .

polysindos · #2

$cos(2B)=cos(2C)=-\dfrac{\sqrt{3}}{8}$

με μερικές παραγώγους

περιμένοντας πιο σύντομη λύση

#3

Το άθροισμα των εμβαδών είναι: $\displaystyle{E = 4{R^2}{\sin ^2}A + {R^2}\sqrt 3 \left( {{{\sin }^2}B + {{\sin }^2}C} \right)}$

Για $\hat{B}=\hat{C}=x$ (γιατί;) αυτό δίνεται από τον τύπο: $\displaystyle{E(x) = R^2\left( {4{{\sin }^2}2x + 2\sqrt 3 {{\sin }^2}x} \right)}$

και με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω ότι παρουσιάζει μέγιστο όταν $\displaystyle{\cos 2x = - \frac{{\sqrt 3 }}{8}}$ , ίσο με $\boxed{{E_{\max }} = \frac{{{R^2}}}{{16}}\left( {67 + 16\sqrt 3 } \right)}$

polysindos · #4

$E=a^{2}+b^{2}\dfrac{\sqrt{3}}{4}+c^{2}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

$E=(b^{2}+c^{2})(1+\dfrac{\sqrt{3}}{4})-2bc\cdot cos\left ( A \right )$

$E=R^{2}\left ( (sin^{2}B+sin^{2}C) \cdot \left ( 4+\sqrt{3} \right )+2sin\left ( 2B \right )\cdot sin\left ( 2c \right )-8sin^{2}B\cdot sin^{2}C\right )$

σε πιο απλή μορφή $E=R^{2}\left ( 2+\sqrt{3} -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left ( cos\left ( 2B \right )+cos\left ( 2C \right ) \right )-2cos\left ( 2\left ( B+C \right ) \right )\right )$

οι μερικές παράγωγοι $\dfrac{\partial E}{\partial B}=0,\dfrac{\partial E}{\partial C}=0$

μας οδηγούν στο B=C

KARKAR · #5

: Δύο τρίγωνα κι ένα τετράγωνο.png (16.82 KiB) Προβλήθηκε 854 φορές

Τα δύο τρίγωνα έχουν εμβαδόν $\dfrac{\sqrt{3}}{4}(b^2+c^2)$ . Με δεδομένη την πλευρά

, επειδή

, το

μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιηθεί το

.

Αλλά $bc\cdot sinA=a\cdot AM$ , οπότε το

μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιηθεί το

,

δηλαδή προφανώς όταν b=c

. Ονομάζω

,

το απόστημα της

και για απλούστευση

των πράξεων , παίρνω R=1

. Τώρα

και

, οπότε $b^2=2(1+\sqrt{1-x^2})$ . Το ζητούμενο , λοιπόν ,

άθροισμα είναι το $E(x)=4x^2+\dfrac{b^2\sqrt{3}}{2}=4x^2+\sqrt{3}(1+\sqrt{1-x^2}) , 0\leq x\leq 1$ .

Η συνάρτηση έχει παράγωγο $E'(x)=x(8-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{1-x^2}})$ και μηδενίζεται για $x=\dfrac{\sqrt{61}}{8}$

και πλέον βρίσκουμε μέγιστο το $E_{max}=\dfrac{67+16\sqrt{3}}{16}$

Δύο τρίγωνα κι ένα τετράγωνο

Δύο τρίγωνα κι ένα τετράγωνο

Re: Δύο τρίγωνα κι ένα τετράγωνο

Re: Δύο τρίγωνα κι ένα τετράγωνο

Re: Δύο τρίγωνα κι ένα τετράγωνο

Re: Δύο τρίγωνα κι ένα τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση