Γωνία ..Γεωμετρίας
Συντονιστής: gbaloglou
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Γωνία ..Γεωμετρίας
Καλημέρα .
Το τρίγωνο έχει και . Για το σημείο της ισχύει .
Το ενώ το είναι εφαπτόμενο στο του τόξου που ορίζουν τα .
Στην προέκταση της παίρνουμε . Να δειχθεί ότι .
Ευχαριστώ , Γιώργος .
Το ενώ το είναι εφαπτόμενο στο του τόξου που ορίζουν τα .
Στην προέκταση της παίρνουμε . Να δειχθεί ότι .
Ευχαριστώ , Γιώργος .
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Γωνία ..Γεωμετρίας
Γιώργο καλησπέρα! Μου άρεσε ιδιαίτερα αυτό το πρόβλημα. Δυστυχώς δεν κατάφερα να αποφύγων τη "σκληρή" τριγωνομετρία η οποία (μάλλον δύσκολα θα αποφευχθεί) υποθέτω ότι είναι επιτρεπτή αν κρίνω από το φάκελο στον οποίο έχει τεθεί το όμορφο αυτό πρόβλημα!Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα .
Το τρίγωνο έχει και . Για το σημείο της ισχύει .Το ενώ το είναι εφαπτόμενο στο του τόξου που ορίζουν τα .Στην προέκταση της παίρνουμε . Να δειχθεί ότι .
Ευχαριστώ , Γιώργος .
Ας είναι το σημείο τομής (εκτός του ) της με τον περίκυκλο του τριγώνου και οι ορθές προβολές του στις αντίστοιχα. Από τη συμμετρία (λόγω του ισοσκελούς τριγώνου) και τα δεδομένα του προβλήματος προκύπτει εύκολα ότι.
[attachment=0]Γωνία γεωμετρίας.png[/attachment]
Οπότε . Από την σύμφωνα με το [/color][color=#000000][b][i]Stathis Ko ... b][/color] προκύπτει ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
- Συνημμένα
-
- Γωνία γεωμετρίας.png (27.99 KiB) Προβλήθηκε 1064 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Γωνία ..Γεωμετρίας
Kαλημέρα σε όλους !
Σ' ευχαριστώ Στάθη για την ευαρέσκειά σου προς το θέμα και βεβαίως για τη λύση !
Είναι όντως εντυπωσιακή η ευρύτητα των εφαρμογών του θεωρήματος ΣΤΑΘΗ ΚΟΥΤΡΑ
λόγω και της ευχέρειας του ..κτήτορος αυτού να το χρησιμοποιεί κατά βούληση !!
Σε επόμενη ανάρτηση προτίθεμαι να υποβάλω και (τουλάχιστον μία) προσωπική προσέγγιση-λύση του θέματος.
Με αφορμή το παρόν , υποβάλλω νέο θέμα-παραλλαγή σε άλλο φάκελο αναμένοντας - όχι άσκοπα- τη συμμετοχή και άλλων φίλων..
Σ' ευχαριστώ Στάθη για την ευαρέσκειά σου προς το θέμα και βεβαίως για τη λύση !
Είναι όντως εντυπωσιακή η ευρύτητα των εφαρμογών του θεωρήματος ΣΤΑΘΗ ΚΟΥΤΡΑ
λόγω και της ευχέρειας του ..κτήτορος αυτού να το χρησιμοποιεί κατά βούληση !!
Σε επόμενη ανάρτηση προτίθεμαι να υποβάλω και (τουλάχιστον μία) προσωπική προσέγγιση-λύση του θέματος.
Με αφορμή το παρόν , υποβάλλω νέο θέμα-παραλλαγή σε άλλο φάκελο αναμένοντας - όχι άσκοπα- τη συμμετοχή και άλλων φίλων..
-
- Δημοσιεύσεις: 10
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 11, 2012 10:16 am
Re: Γωνία ..Γεωμετρίας
Έστω μέσο της ,άρα .
Έστω το κέντρο του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία . Τότε ,
, , οπότε .
Παίρνω το συμμετρικό του ως προς τη και σχηματίζω το ισοσκελές τρίγωνο με
. Τότε τα τρίγωνα είναι ίσα διότι . Άρα .
Όμως τα τρίγωνα είναι ίσα , άρα και .
Τότε τα τρίγωνα είναι ίσα διότι .
Άρα .
Έστω το κέντρο του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία . Τότε ,
, , οπότε .
Παίρνω το συμμετρικό του ως προς τη και σχηματίζω το ισοσκελές τρίγωνο με
. Τότε τα τρίγωνα είναι ίσα διότι . Άρα .
Όμως τα τρίγωνα είναι ίσα , άρα και .
Τότε τα τρίγωνα είναι ίσα διότι .
Άρα .
- Συνημμένα
-
- APOSTOLIS 331.ggb
- (28.88 KiB) Μεταφορτώθηκε 54 φορές
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Γωνία ..Γεωμετρίας
Χαιρετώ όλους ! Να ευχαριστήσω θερμά τον φίλο Αποστόλη για το ..πόνημά του και να την θαυμάσια Γεωμετρική προσέγγιση-λύση του !
Υποβάλλω στη συνέχεια τη λύση που είχα κατά νου όταν δημοσίευσα το παρόν θέμα : Θέτω και .Στο ορθ. τρίγωνο είναι .
Από τον (χ3) Ν. Ημιτόνων παίρνουμε : Στο , στο
και στο .
Έχουμε λοιπόν ενώ και συνεπώς ,όπως και ΕΔΩ παίρνουμε .
Για τη λύση κάνουμε χρήση και τριγωνομετρικών τύπων. Ας θέσω στην κρίση σας την παρακάτω πρόταση - ''εικασία'' :
Έστω ότι λύνουμε κάποιο πρόβλημα όπου , εκτός των γεωμετρικών εργαλείων, κανουμε χρήση και τριγωνομετρικών τύπων .
Οι τύποι όμως αυτοί έχουν αποδειχθεί με αμιγώς γεωμετρικά μέσα . Τότε :
Το πρόβλημα (έχω την πεποίθηση πως ) μπορεί να λυθεί καθαρά Γεωμετρικά , χωρίς τη χρήση των εν λόγω τύπων της Τριγωνομετρίας ...
Ασφαλώς και θα με ενδιέφερε η γνώμη σας !
Φιλικά Γιώργος .
Υποβάλλω στη συνέχεια τη λύση που είχα κατά νου όταν δημοσίευσα το παρόν θέμα : Θέτω και .Στο ορθ. τρίγωνο είναι .
Από τον (χ3) Ν. Ημιτόνων παίρνουμε : Στο , στο
και στο .
Έχουμε λοιπόν ενώ και συνεπώς ,όπως και ΕΔΩ παίρνουμε .
Για τη λύση κάνουμε χρήση και τριγωνομετρικών τύπων. Ας θέσω στην κρίση σας την παρακάτω πρόταση - ''εικασία'' :
Έστω ότι λύνουμε κάποιο πρόβλημα όπου , εκτός των γεωμετρικών εργαλείων, κανουμε χρήση και τριγωνομετρικών τύπων .
Οι τύποι όμως αυτοί έχουν αποδειχθεί με αμιγώς γεωμετρικά μέσα . Τότε :
Το πρόβλημα (έχω την πεποίθηση πως ) μπορεί να λυθεί καθαρά Γεωμετρικά , χωρίς τη χρήση των εν λόγω τύπων της Τριγωνομετρίας ...
Ασφαλώς και θα με ενδιέφερε η γνώμη σας !
Φιλικά Γιώργος .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 13 επισκέπτες