Σταθερή περίμετρος-μέγιστο εμβαδόν
Συντονιστής: gbaloglou
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4454
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Σταθερή περίμετρος-μέγιστο εμβαδόν
Το θέμα είναι πολύ γνωστό. Το επαναθέτω γιατί νομίζω ότι έχει ενδιαφέρον να δούμε συγκεντρωμένες σε ένα μέρος πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις που να χρησιμοποιούν διάφορα εργαλεία.
Από τα τρίγωνα που έχουν σταθερή περίμετρο να βρείτε εκείνο που έχει μέγιστο εμβαδόν.
Μαυρογιάννης
Από τα τρίγωνα που έχουν σταθερή περίμετρο να βρείτε εκείνο που έχει μέγιστο εμβαδόν.
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Σταθερή περίμετρος-μέγιστο εμβαδόν
σταθερή τη βάση , σταθερό θα είναι και το άθροισμα .
Το είναι σημείο της έλλειψης με εστίες τα και σταθερό άθροισμα .
Το μεγιστοποιείται (προφανώς!) , όταν . Σκεπτόμενοι ομοίως για
τις άλλες πλευρές , καταλήγουμε: το τρίγωνο με το μέγιστο εμβαδόν είναι το ισόπλευρο .
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: Σταθερή περίμετρος-μέγιστο εμβαδόν
Πολύ ωραία σκέψη.....
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
-
- Δημοσιεύσεις: 1418
- Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm
Re: Σταθερή περίμετρος-μέγιστο εμβαδόν
Ισχύει
.
Οι τρεις παράγοντες του δεύτερου μέλους της είναι μεταβλητοί και έχουν
άθροισμα . Συνεπώς το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο όταν αυτοί είναι ίσοι.
Δηλαδή .
Επομένως είναι το ισόπλευρο τρίγωνο.
.
Οι τρεις παράγοντες του δεύτερου μέλους της είναι μεταβλητοί και έχουν
άθροισμα . Συνεπώς το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο όταν αυτοί είναι ίσοι.
Δηλαδή .
Επομένως είναι το ισόπλευρο τρίγωνο.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Σταθερή περίμετρος-μέγιστο εμβαδόν
Κάτι παρόμοιο με τον Φάνη.
Η ισότητα ισχύει στο ισόπλευρο τρίγωνο.
Η ισότητα ισχύει στο ισόπλευρο τρίγωνο.
Re: Σταθερή περίμετρος-μέγιστο εμβαδόν
Ισοδύναμα είναι αν δίνεται κύκλος σταθερής ακτίνας ποίο απο τα περιγεγραμένα τρίγωνά του έχει την ελάχιστη περίμετρο.nsmavrogiannis έγραψε:Το θέμα είναι πολύ γνωστό. Το επαναθέτω γιατί νομίζω ότι έχει ενδιαφέρον να δούμε συγκεντρωμένες σε ένα μέρος πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις που να χρησιμοποιούν διάφορα εργαλεία.
Από τα τρίγωνα που έχουν σταθερή περίμετρο να βρείτε εκείνο που έχει μέγιστο εμβαδόν.
Μαυρογιάννης
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4454
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερή περίμετρος-μέγιστο εμβαδόν
Γεια σας και ευχαριστώ για την συμμετοχή σας.
Αυτές που αρχικά είχα υπ΄οψιν ήταν μια με τον τύπο του Ήρωνα και την παραδοχή ότι αν ένα γινόμενο έχει παράγοντες με σταθερό άθροισμα τότε μεγιστοποιείται όταν οι παράγοντες γίνουν ίσοι (ισοδύναμες με χρήση της ανισότητας του Cauchy) και εκείνη του Θανάση (KARKAR) με την χρήση έλλειψης.
Στο ενδιάμεσο βρήκα κάποιες ακόμη και μιας και σκοπός της ανάρτησης είναι να δοθούν όσο γίνεται περισσότερες έχοντας χρονική ευχέρεια γράφω μια που είναι διδάξιμη ήδη από την Α΄Λυκείου.
Η ιδέα είναι η ίδια με του Θανάση: Δείχνουμε ότι αν ένα τρίγωνο έχει δύο πλευρές άνισες τότε υπάρχει ένα άλλο ισοπεριμετρικό τρίγωνο που έχει την τρίτη του πλευρά ίση με του αρχικού, τις άλλες δύο ίσες και μεγαλύτερο εμβαδόν.
Ας υποθέσουμε ότι το τρίγωνο έχει πλευρές και . Η ιδέα είναι να κατασκευάσουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές ίσες με :
Από τα , φέρνουμε κάθετες στην διχοτόμο της γωνίας που τέμνουν τις , στα , αντίστοιχα.
Κατόπιν θεωρούμε την διάμεσο του ισοσκελούς τραπεζίου . Το ισοσκελές τρίγωνο έχει ίδια περίμετρο με το αρχικό αλλά μεγαλύτερο εμβαδόν.
Μαυρογιάννης
Αυτές που αρχικά είχα υπ΄οψιν ήταν μια με τον τύπο του Ήρωνα και την παραδοχή ότι αν ένα γινόμενο έχει παράγοντες με σταθερό άθροισμα τότε μεγιστοποιείται όταν οι παράγοντες γίνουν ίσοι (ισοδύναμες με χρήση της ανισότητας του Cauchy) και εκείνη του Θανάση (KARKAR) με την χρήση έλλειψης.
Στο ενδιάμεσο βρήκα κάποιες ακόμη και μιας και σκοπός της ανάρτησης είναι να δοθούν όσο γίνεται περισσότερες έχοντας χρονική ευχέρεια γράφω μια που είναι διδάξιμη ήδη από την Α΄Λυκείου.
Η ιδέα είναι η ίδια με του Θανάση: Δείχνουμε ότι αν ένα τρίγωνο έχει δύο πλευρές άνισες τότε υπάρχει ένα άλλο ισοπεριμετρικό τρίγωνο που έχει την τρίτη του πλευρά ίση με του αρχικού, τις άλλες δύο ίσες και μεγαλύτερο εμβαδόν.
Ας υποθέσουμε ότι το τρίγωνο έχει πλευρές και . Η ιδέα είναι να κατασκευάσουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές ίσες με :
Από τα , φέρνουμε κάθετες στην διχοτόμο της γωνίας που τέμνουν τις , στα , αντίστοιχα.
Κατόπιν θεωρούμε την διάμεσο του ισοσκελούς τραπεζίου . Το ισοσκελές τρίγωνο έχει ίδια περίμετρο με το αρχικό αλλά μεγαλύτερο εμβαδόν.
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
- polysot
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2583
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
- Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
- Επικοινωνία:
Re: Σταθερή περίμετρος-μέγιστο εμβαδόν
Ισοσκελές τρίγωνο με μεγαλύτερο εμβαδόν ενός τυχόντος τριγώνου μπορούμε να κατασκευάσουμε και ως εξής:
Έστω τρίγωνο με γνωστή περίμετρο.
Θα κατασκευάσουμε ισοσκελές τρίγωνο με ίδια περίμετρο και μεγαλύτερο εμβαδόν.
Θεωρούμε την ευθεία παράλληλη προς την , η οποία διέρχεται από το .
Στη συνέχεια φέρουμε τη μεσοκάθετο του , η οποία τέμνει την στο σημείo .
Tο τρίγωνο είναι ισεμβαδικό με το αρχικό, αφού έχουν ίδια βάση και ίδιο ύψος.
Όμως (πρόβλημα Ήρωνα - Εφαρμογή 4 σχ.βιβλ. σελ 56 παρ.3.12).
Τώρα, υπάρχει σημείο , στη μεσοκάθετο , ώστε (Δες υποσημείωση).
Το τρίγωνο περιέχει το τρίγωνο , που είναι ισεμβαδικό με το αρχικό, αλλά έχει μεγαλύτερο εμβαδόν από αυτό με ίση περίμετρο με το αρχικό.
(Υποσημείωση)
Αν και για το σημείο ισχύει , τότε επιλέγουμε ένα σε μεγαλύτερη απόσταση από τη .
Αν για το ισχύει , τότε επιλέγουμε το μέσο του κ.ο.κ., οπότε θα υπάρχει σημείο, ώστε
Παρατήρηση: Η ίδια ιδέα χρησιμοποιείται στο βιβλίο του V.M.Tikhomirov, Ιστορίες για μέγιστα και Ελάχιστα, Εκδ.Κάτοπτρο (Stories about maxima and minima, A.M.S. 1990),ως μέρος της επίλυσης του γενικότερου ισοπεριμετρικού προβλήματος σε ν-γωνα, και αποδίδεται στο Ζηνόδωρο.
Έστω τρίγωνο με γνωστή περίμετρο.
Θα κατασκευάσουμε ισοσκελές τρίγωνο με ίδια περίμετρο και μεγαλύτερο εμβαδόν.
Θεωρούμε την ευθεία παράλληλη προς την , η οποία διέρχεται από το .
Στη συνέχεια φέρουμε τη μεσοκάθετο του , η οποία τέμνει την στο σημείo .
Tο τρίγωνο είναι ισεμβαδικό με το αρχικό, αφού έχουν ίδια βάση και ίδιο ύψος.
Όμως (πρόβλημα Ήρωνα - Εφαρμογή 4 σχ.βιβλ. σελ 56 παρ.3.12).
Τώρα, υπάρχει σημείο , στη μεσοκάθετο , ώστε (Δες υποσημείωση).
Το τρίγωνο περιέχει το τρίγωνο , που είναι ισεμβαδικό με το αρχικό, αλλά έχει μεγαλύτερο εμβαδόν από αυτό με ίση περίμετρο με το αρχικό.
(Υποσημείωση)
Αν και για το σημείο ισχύει , τότε επιλέγουμε ένα σε μεγαλύτερη απόσταση από τη .
Αν για το ισχύει , τότε επιλέγουμε το μέσο του κ.ο.κ., οπότε θα υπάρχει σημείο, ώστε
Παρατήρηση: Η ίδια ιδέα χρησιμοποιείται στο βιβλίο του V.M.Tikhomirov, Ιστορίες για μέγιστα και Ελάχιστα, Εκδ.Κάτοπτρο (Stories about maxima and minima, A.M.S. 1990),ως μέρος της επίλυσης του γενικότερου ισοπεριμετρικού προβλήματος σε ν-γωνα, και αποδίδεται στο Ζηνόδωρο.
Σωτήρης Δ. Χασάπης
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Re: Σταθερή περίμετρος-μέγιστο εμβαδόν
Ας δικαιολογήσω την παραπάνω πρότασηmikemoke έγραψε:Ισοδύναμα είναι αν δίνεται κύκλος σταθερής ακτίνας ποίο απο τα περιγεγραμένα τρίγωνά του έχει την ελάχιστη περίμετρο.nsmavrogiannis έγραψε:Το θέμα είναι πολύ γνωστό. Το επαναθέτω γιατί νομίζω ότι έχει ενδιαφέρον να δούμε συγκεντρωμένες σε ένα μέρος πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις που να χρησιμοποιούν διάφορα εργαλεία.
Από τα τρίγωνα που έχουν σταθερή περίμετρο να βρείτε εκείνο που έχει μέγιστο εμβαδόν.
Μαυρογιάννης
Με σταθερή περίμετρο μπορούμε να σχηματίσουμε ένα από όλα τα πιθανά τρίγωνα
Για να το αποδείξουμε έστω ένα τυχαία τρίγωνο με περίμετρο φέρνουμε το όμοιό του με λόγο ομοιότητας
Επίσης μπορούμε να δίξουμε ότι περιγγεγραμένα σε κύκλο σταθερής ακτίνας μπορούν να σχηματιστούν όλα τα πιθανά τρίγωνα
Από τον τύπο ( ημιπερίμετρος και σταθερή) προκύπτει ότι το τρίγωνο με το μέγιστο εμβαδόν είναι περιγεγραμένο στο μέγιστο κύκλο ακτίνας τότε
Από το
μπορούμε να μεταφέρουμε με την κατάλληλη μεγέθυνση όλα τα τρίγωνα σταθερής περιμέτρου να είναι περιγεγραμένα σε κύκλο σταθερής ακτίνας
ο λόγος θα παραμείνει ίδιος για κάθε τρίγωνο λόγω των αναλογιών
Επόμενως το ζητούμενο τρίγωνο είναι αυτό με το μικρότερο εμβαδόν και άρα με την ελάχιστη περίμετρο που επιτυγχάνεται για το ισόπλευρο
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης