Ανάκλαση σε μη επίπεδο κάτοπτρο

[Doloros]

Δίδεται σταθερός κύκλος κέντρου και δύο σταθερά σημεία εκτός αυτού .

Πρόβλημα_ Ανάκλασης.png (25.65 KiB) Προβλήθηκε 740 φορές

Δίδεται σταθερός κύκλος κέντρου και δύο σταθερά σημεία εκτός αυτού .

Σημείο κινείται στον κύκλο . Για ποια θέση του το άθροισμα γίνεται ελάχιστο?

Ένας τρόπος για να λυθεί το πρόβλημα είναι να κατασκευάσουμε έλλειψη με εστίες τα η οποία να εφάπτεται στον κύκλο .

Υπάρχει λύση με Ευκλείδεια Γεωμετρία?

(Δεν έχω απάντηση )

[S.E.Louridas]

Υπάρχει αν δεν κάνω λάθος στους Ιησουϊτες.

[Mihalis_Lambrou]

Νίκο, το πρόβλημα δεν λύνεται με κανόνα και διαβήτη.

Το είχαμε συζητήσει εδώ και ισοδυναμεί με το "Πρόβλημα Alhazen".

Βλέπε επίσης στην Wikipedia εδώ αλλά κυρίως στις εκεί παραπομπές για εξαιρετικό υλικό. Ειδικά, προσπάθειες γεωμετρικής λύσης του προβλήματος προτάθηκαν από τους Huygens, James Gregory, l' Hopital, Barrow και άλλους, οι οποίοι χρησιμοποίησαν κωνικές ή άλλα μέσα.

[Mihalis_Lambrou]

Υπάρχει αν δεν κάνω λάθος στους Ιησουϊτες.

Σωτήρη, νομίζω ότι οι Ιησουίτες έχουν το άλλο πρόβλημα του Alhazen, το επονομαζόμενο "πρόβλημα του μπιλιάρδου". Και τα δύο είναι από την Οπτική του.

[S.E.Louridas]

Υπάρχει αν δεν κάνω λάθος στους Ιησουϊτες.

Σωτήρη, νομίζω ότι οι Ιησουίτες έχουν το άλλο πρόβλημα του Alhazen, το επονομαζόμενο "πρόβλημα του μπιλιάρδου". Και τα δύο είναι από την Οπτική του.

Ναι Μιχάλη έχεις δίκιο.

[Γιώργος Ρίζος]

Καλησπέρα σε όλους.

Επιχειρώ μια αναλυτικότερη προσέγγιση, δίχως την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης, στη διαπίστωση του Μιχάλη (από την παραπάνω παραπομπή):

"Αν εξετάσουμε την κοινή εφαπτομένη ε στα σχήματα, βλέπουμε από την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης ότι οι εστιακές ακτίνες σχηματίζουν ίσες γωνίες με την (κάτι ανάλογο δηλαδή με το πρόβλημα του Ήρωνα)."

13-12-2017 Γεωμετρία.png (58.75 KiB) Προβλήθηκε 687 φορές

Έστω τυχαίο σημείο της και η εφαπτομένη της στο .

Προσδιορίζουμε το , συμμετρικό του ως προς την , οπότε .

Έστω το σημείο τομής της με την , αν υπάρχει. Όταν το σημείο ταυτιστεί με το , έχουμε ίσες τις κυρτές γωνίες των με την ), αφού τότε το είναι στη μεσοκάθετο του .

Τότε, από την τριγωνική ανισότητα για οποιοδήποτε άλλο σημείο της καμπύλης είναι , αφού η , ως εφαπτομένη του κύκλου έχει κάθε άλλο σημείο της, εκτός του εξωτερικό του κύκλου.

Οπότε η ελάχιστη τιμή του επιτυγχάνεται σε εκείνα τα σημεία της για τα οποία οι κυρτές γωνίες των με την είναι ίσες.

Τι μένει; Η απόδειξη της μοναδικότητας του . Δεν το έψαξα. Για την αδυναμία κατασκευής έγραψε παραπάνω ο Μιχάλης.

Extra Bonus: Όταν τα γίνουν συγγραμμικά, τότε το παίρνει τη μέγιστη τιμή του. Είμαι πεπεισμένος ότι ισχύει. Δεν έχω κάνει απόδειξη. Το θέτω ως προβληματισμό ή για αναζήτηση πληροφοριών αν κάποιος το έχει εντοπίσει κάπου.

Έχω υπόψιν μου την σχετική εργασία των Κώστα Δόρτσιου και Γιώργου Τσίντσιφα στο ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ FERMAT-TORRICELI στην Μαθηματική Εβδομάδα του 2016. Θα είχε ενδιαφέρον να αναρτηθεί (αν δεν είναι ήδη κάπου διαθέσιμη). Όποια επιπλέον πληροφορία καλοδεχούμενη.