Mηχανή παραγωγής πρώτων! (Δελτίο 6)

Γιώργος Απόκης · #1

Να δείξετε ότι η ακολουθία $a_n=\sqrt{24n+1},~n=1,2,...$ έχει ως όρους όλους τους πρώτους αριθμούς εκτός από το

και το

.

#2

Αρκεί να δείξουμε ότι $\dfrac{p^2-1}{24}$ είναι φυσικός αριθμός για κάθε πρώτο p>3.

Έχουμε ότι p^2-1=(p-1)(p+1)

.

Επειδή p-1,p+1

δύο διαδοχικοί άρτιοι (αφού $p\neq2$ ), έπεται εύκολα ότι 8|(p-1)(p+1)

.

Επίσης, οι p-1,p,p+1

είναι 3 διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί. Κάποιος λοιπόν από αυτούς θα είναι πολλαπλάσιο του 3. Επειδή

πρώτος με $p\neq 3$ , κάποιος από τους p-1,p+1

θα είναι πολλαπλάσιο του 3.

Άρα, 3|(p-1)(p+1)

.

Οπότε, αφού (3,8)=1

, έχουμε ότι $3\cdot8|(p-1)(p+1)$ .

Φιλικά,

Νίκος Κατσίπης