Διοφαντικές Εξισώσεις
Συντονιστής: nkatsipis
-
- Δημοσιεύσεις: 63
- Εγγραφή: Σάβ Μάιος 11, 2013 3:39 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Διοφαντικές Εξισώσεις
α) για x,y,z θετικούς ακέραιους(Βασικά έχω δεί πολλά θεωρήματα σχετικά με τις λύσεις της διοφαντικής με a,b,c δοσμένους θετικούς ακέραιους αλλά είναι δυσνόητα)
β)Πότε η παράσταση είναι κύβος ακέραιου αριθμού όπου p πρώτος αριθμός
γ)Βρές τους πρώτους αριθμούς που ικανοποιούν την εξίσωση
β)Πότε η παράσταση είναι κύβος ακέραιου αριθμού όπου p πρώτος αριθμός
γ)Βρές τους πρώτους αριθμούς που ικανοποιούν την εξίσωση
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Διοφαντικές Εξισώσεις
Καλησπέρα,Rafaelcrete έγραψε:α) για x,y,z θετικούς ακέραιους(Βασικά έχω δεί πολλά θεωρήματα σχετικά με τις λύσεις της διοφαντικής με a,b,c δοσμένους θετικούς ακέραιους αλλά είναι δυσνόητα)
β)Πότε η παράσταση είναι κύβος ακέραιου αριθμού όπου p πρώτος αριθμός
γ)Βρές τους πρώτους αριθμούς που ικανοποιούν την εξίσωση
Ασχολήθηκα με την β .
Με δοκιμές βλέπω ότι ,
Αν τότε δεν έχουμε λύση γιατί το δεξί μέλος προφανώς μεγαλύτερος αριθμός από το αριστερό.
Άρα και
Εγώ το σύστημα αυτό το έλυσα ως εξής
Έστω ,
Αντικαθιστώντας στην τον (η τον ) θα έχουμε τελικά το τριώνυμο ..(Έγινε τυπογραφικό λάθος και διόρθωση ...αντί της σε , ευχαριστώ για την επισήμανση παρακάτω.
με για κάθε
Μένει να ελέγξω και έχει λύση μόνο για οπότε ,
Μοναδική λύση το ζεύγος
Υ.γ Σε μερικά σημεία χρειάζονται κάποιες επιπλέον πράξεις από τον αναγνώστη ώστε να φτάσει στο αποτέλεσμα .
Ελπίζω να είναι σωστή.
Φιλικά,
Δημήτρης
τελευταία επεξεργασία από Αρχιμήδης 6 σε Τετ Μαρ 05, 2014 6:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
-
- Δημοσιεύσεις: 63
- Εγγραφή: Σάβ Μάιος 11, 2013 3:39 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Διοφαντικές Εξισώσεις
Νομίζω ότι έχει γίνει ένα λάθος.Γράφεις κάπου στα μέσα ότι αντικαθιστώντας στην ενώ είναι .
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Διοφαντικές Εξισώσεις
Διορθώθηκε το τυπογραφικό Ραφαήλ, ευχαριστώ.Rafaelcrete έγραψε:Νομίζω ότι έχει γίνει ένα λάθος.Γράφεις κάπου στα μέσα ότι αντικαθιστώντας στην ενώ είναι .
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
-
- Δημοσιεύσεις: 63
- Εγγραφή: Σάβ Μάιος 11, 2013 3:39 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Διοφαντικές Εξισώσεις
Μήπως τα τελευταία θα μπορούσες να τα εξηγήσεις λίγο παραπάνω διότι δεν τα πολύ καταλαβαίνω.Μετά απο εκεί που λές αντικαθιστώντας κυρίως.Μπορεί κάποιος να πεί ότι είναι τετριμένα,απλές πράξεις αλλά μπερδεύουν και δεν μου φαίνονται και τόσο προφανή.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Διοφαντικές Εξισώσεις
Διάβασε προσεχτικά ότι γράφω και κάνε την αντικατάσταση που είπα .Ως εδώ δεν πρέπει να έχεις κάποια δυσκολία. Αφού κάνεις αντικατάσταση θα κάνεις και μια απλοποίηση του παράγοντα για να καταλήξεις στο τριώνυμο που έχω γράψει στην λύση μου.
Φιλικά,
Δημήτρης
Φιλικά,
Δημήτρης
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
Re: Διοφαντικές Εξισώσεις
Μια προσέγγιση για το (α). Με ταλαιπώρησε πολύ και ακόμα δεν είναι πλήρως ολοκληρωμένη.
Ξεκινάμε με την περίπτωση . Αυτό είναι και το σημείο στο οποίο δεν μπόρεσα να βρω λύση. Βάζω μόνο κάποιες σκέψεις.
Η εξίσωση γίνεται:
. Εύκολα με και μπορούμε να δούμε ότι περιττοί. Από εκεί και πέρα δεν ξέρω τι να κάνω και το αφήνω ανοικτό για όποιον θέλει να
προσπαθήσει.
Για η εξίσωση γίνεται:
. Με παίρνω και με παίρνω . Έτσι η εξίσωση γίνεται:
.
Προκύπτουν κάποια συστήματα τα οποία όμως δεν δίνουν λύση(δεν τα γράφω για εξοικονόμηση χρόνου).
Έστω τώρα .
Με έχουμε ότι . Επομένως . Ακόμα, αφού είναι . Επομένως θα πρέπει .
Αν περιττός έστω έχουμε , άτοπο.
Αν άρτιο, έστω τότε , δεκτό.
Άρα .
Η εξίσωση γίνεται:
.
Επομένως:
με και .
Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε:
Αν θα είχαμε , άτοπο.
Άρα .
Επομένως, η εξίσωση γίνεται:
.
Αν έχουμε .
Με έχουμε , άτοπο.
Άρα . Εύκολα τώρα παίρνουμε .
Έτσι . Τελικά, προκύπτει η λύση .
Y.Γ.: Θα ήθελα να παρακαλέσω όποιον μπορεί να δει την περίπτωση γιατί με έχει ταλαιπωρήσει πάρα πολύ...
Ξεκινάμε με την περίπτωση . Αυτό είναι και το σημείο στο οποίο δεν μπόρεσα να βρω λύση. Βάζω μόνο κάποιες σκέψεις.
Η εξίσωση γίνεται:
. Εύκολα με και μπορούμε να δούμε ότι περιττοί. Από εκεί και πέρα δεν ξέρω τι να κάνω και το αφήνω ανοικτό για όποιον θέλει να
προσπαθήσει.
Για η εξίσωση γίνεται:
. Με παίρνω και με παίρνω . Έτσι η εξίσωση γίνεται:
.
Προκύπτουν κάποια συστήματα τα οποία όμως δεν δίνουν λύση(δεν τα γράφω για εξοικονόμηση χρόνου).
Έστω τώρα .
Με έχουμε ότι . Επομένως . Ακόμα, αφού είναι . Επομένως θα πρέπει .
Αν περιττός έστω έχουμε , άτοπο.
Αν άρτιο, έστω τότε , δεκτό.
Άρα .
Η εξίσωση γίνεται:
.
Επομένως:
με και .
Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε:
Αν θα είχαμε , άτοπο.
Άρα .
Επομένως, η εξίσωση γίνεται:
.
Αν έχουμε .
Με έχουμε , άτοπο.
Άρα . Εύκολα τώρα παίρνουμε .
Έτσι . Τελικά, προκύπτει η λύση .
Y.Γ.: Θα ήθελα να παρακαλέσω όποιον μπορεί να δει την περίπτωση γιατί με έχει ταλαιπωρήσει πάρα πολύ...
Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας
Ψυρούκης Ραφαήλ
Ψυρούκης Ραφαήλ
Re: Διοφαντικές Εξισώσεις
Υποθέτω εννοείς την εξίσωση Ραφαήλ.
Λοιπόν, για έχουμε τη λύση .
Για , έχουμε αφαιρώντας .
Επίσης, αφαιρώντας , έχουμε ότι το είναι περιττό.
Όμως αφαιρώντας τη σχέση , έχουμε:
,
άρα το είναι άρτιο. Άτοπο.
Λοιπόν, για έχουμε τη λύση .
Για , έχουμε αφαιρώντας .
Επίσης, αφαιρώντας , έχουμε ότι το είναι περιττό.
Όμως αφαιρώντας τη σχέση , έχουμε:
,
άρα το είναι άρτιο. Άτοπο.
Τσιντσιλίδας Δημήτρης
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Διοφαντικές Εξισώσεις
Rafaelcrete έγραψε:α) για x,y,z θετικούς ακέραιους]
Αν
Με , , προκύπτει ότι άρτιοι αντίστοιχα.
, ,
,
, , όπου , οπότε εύκολα
προκύπτει μοναδική λύση για ,
Αν ομοίως όπως ο jim.jt. για την λύση
Αναπάντητο το γ ερώτημα.
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Διοφαντικές Εξισώσεις
BMO 2005Rafaelcrete έγραψε:β)Πότε η παράσταση είναι κύβος ακέραιου αριθμού όπου p πρώτος αριθμός
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Διοφαντικές Εξισώσεις
Hint:Rafaelcrete έγραψε:γ)Βρές τους πρώτους αριθμούς που ικανοποιούν την εξίσωση
Θανάσης Κοντογεώργης
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Διοφαντικές Εξισώσεις
Ενδιαφέρον παρουσιάζει και η ελαφρώς γενικότερη περίπτωση της δεύτερης εξίσωσης .
Για να λύσουμε την παρακάτω εξίσωση:
Η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδικές λύσεις τις
Ένας τρόπος να λυθεί είναι να την μετασχηματίσεις αρχικά στην παρακάτω,
οπότε έχουμε να λύσουμε την
Η τελευταία λύνεται και με παραγοντοποίηση σε UFD και έχει λυθεί από τον W.Lyunggren.
Για να λύσουμε την παρακάτω εξίσωση:
Η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδικές λύσεις τις
Ένας τρόπος να λυθεί είναι να την μετασχηματίσεις αρχικά στην παρακάτω,
οπότε έχουμε να λύσουμε την
Η τελευταία λύνεται και με παραγοντοποίηση σε UFD και έχει λυθεί από τον W.Lyunggren.
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Διοφαντικές Εξισώσεις
Να κλείνει.Rafaelcrete έγραψε:
γ)Βρές τους πρώτους αριθμούς που ικανοποιούν την εξίσωση
Με Fermat .
Άρα, , άρα , και όμοια .
Με , έχουμε , άρα έχουμε ισότητα, δηλαδή , και αφού είναι πρώτοι, ένας είναι .
Προφανώς, όχι πρώτος.
Άρα, και με δοκιμές έχουμε
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες