Εύρεση τέλειων τετραγώνων

Rafaelcrete · #1

Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί

τέτοιοι ώστε η παράσταση $f(n)=3^{2n-1}+2^{n-1}$ να είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου.

raf616 · #2

Rafaelcrete έγραψε:Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε η παράσταση $f(n)=3^{2n-1}+2^{n-1}$ να είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου.

Καλημέρα. Μία προσέγγιση είναι η εξής:

Αν $n - 1 \geq 2$ τότε $2^{n - 1} \equiv 0 \pmod 4$ .

Ακόμα $3^{2n - 1} \equiv (-1)^{2n - 1} \equiv -1 \pmod 4$ .

Άρα $f(n) \equiv -1 \pmod 4$ , άτοπο αφού το

δεν είναι τετραγωνικό κατάλοιπο $\pmod4$ .

Άρα $n - 1 \leq 2$ . Εύκολα τώρα ελέγχουμε ότι η μοναδική τιμή που επαληθεύει είναι n = 1

.

Εύρεση τέλειων τετραγώνων

Εύρεση τέλειων τετραγώνων

Re: Εύρεση τέλειων τετραγώνων

Μέλη σε σύνδεση